解答: A = {2, 4, 6, 8, 10}

【条件を読み解く】

ステップ1: 条件を分解する
「10以下の正の偶数」には3つの条件があります：
① 10以下（10を含む）
② 正の数（0より大きい）
③ 偶数（2で割り切れる）

ステップ2: 条件を満たす数を探す
まず偶数を小さい順に書き出す：
…, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

ステップ3: 他の条件で絞り込む
• 「正の数」→ 0以下を除外 → 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
• 「10以下」→ 10より大きいものを除外 → 2, 4, 6, 8, 10

答え: A = {2, 4, 6, 8, 10}

【ポイント】
• 「以下」は「その数を含む」（10以下 → 10も含む）
• 「未満」は「その数を含まない」（10未満 → 10は含まない）

解答:
(1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(2) A ∩ B = {3, 4}
(3) A – B = {1, 2}

【ベン図でイメージする】

    A           B
  ┌───┐     ┌───┐
  │1,2│ 3,4 │5,6│
  └───┘     └───┘
      └──┬──┘
       共通部分

—

【(1) A ∪ B（和集合）の求め方】

「∪」は「または」= 合わせる

ステップ1: Aの要素をすべて書く
{1, 2, 3, 4}

ステップ2: Bの要素で、まだ書いていないものを追加
Bの要素: 3, 4, 5, 6
• 3 → すでにある（スキップ）
• 4 → すでにある（スキップ）
• 5 → 追加！
• 6 → 追加！

答え: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

—

【(2) A ∩ B（積集合）の求め方】

「∩」は「かつ」= 共通部分

ステップ1: Aの各要素がBにもあるか確認
• 1 ∈ A → 1 ∈ B? → NO（Bにない）
• 2 ∈ A → 2 ∈ B? → NO（Bにない）
• 3 ∈ A → 3 ∈ B? → YES！（両方にある）
• 4 ∈ A → 4 ∈ B? → YES！（両方にある）

答え: A ∩ B = {3, 4}

—

【(3) A – B（差集合）の求め方】

「A – B」は「AにあってBにない」

ステップ1: Aの各要素がBにあるか確認
• 1 ∈ A → 1 ∈ B? → NO → 残す！
• 2 ∈ A → 2 ∈ B? → NO → 残す！
• 3 ∈ A → 3 ∈ B? → YES → 除外
• 4 ∈ A → 4 ∈ B? → YES → 除外

答え: A – B = {1, 2}

【確認】
A – B と B – A は違う結果になることに注意！
B – A = {5, 6}（BにあってAにない）

解答: 「偶数でない整数が存在する」

【否定の作り方】

ステップ1: 元の命題を確認
「すべての整数は偶数である」

ステップ2: 「すべて」の否定は「存在する」
「すべての〜は○○」の否定 → 「○○でない〜が存在する」

ステップ3: 否定を作成
「すべての整数は偶数である」
　　　↓ 否定
「偶数でない整数が存在する」

—

【否定のルール一覧】

| 元の命題 | 否定 |
|———-|——|
| すべてのxは○○ | ○○でないxが存在する |
| あるxは○○ | すべてのxは○○でない |
| AかつB | (Aでない)または(Bでない) |
| AまたはB | (Aでない)かつ(Bでない) |

【具体例で確認】
元の命題p: 「すべての整数は偶数である」→ 偽（例: 3は偶数でない）
否定¬p: 「偶数でない整数が存在する」→ 真（例: 3が存在する）

pが偽なら¬pは真 ✓（正しく否定できている）

解答:
(1) 十分条件
(2) 必要条件

【考え方の手順】

ステップ1: 矢印の関係を確認
x = 2 ⇒ x² = 4
（x = 2ならば、x² = 4）

これは成り立つ？ → 成り立つ（2² = 4は確実）

ステップ2: 逆も成り立つか確認
x² = 4 ⇒ x = 2
（x² = 4ならば、x = 2）

これは成り立つ？ → 成り立たない
なぜなら x = -2 でも x² = 4 になるから

—

【(1) x = 2 は何条件？】

「p ⇒ q」が成り立つとき、pはqの十分条件

x = 2 ⇒ x² = 4 が成り立つので
「x = 2」は「x² = 4」であるための十分条件

イメージ:
「x = 2であれば、x² = 4は十分保証される」
（x = 2があれば、それで十分）

—

【(2) x² = 4 は何条件？】

「p ⇒ q」が成り立つとき、qはpの必要条件

x = 2 ⇒ x² = 4 が成り立つので
「x² = 4」は「x = 2」であるための必要条件

イメージ:
「x = 2であるためには、x² = 4は必要」
（x² = 4でないと、x = 2にはなれない）

ただし、x² = 4 だからといって x = 2 とは限らない
（x = -2 の可能性もある）
→ 十分ではない

—

【覚え方】

  p ⇒ q
  ↑   ↑
 十分 必要
（前）（後）

「前は十分、後は必要」と覚える！

解答:
(1) 頂点: (3, 1)
(2) 下に凸（∪型）

【標準形から読み取る方法】

ステップ1: 標準形の公式を確認
y = a(x – p)² + q
　　↓　↓　　　↓
頂点の座標 = (p, q)

ステップ2: 問題の式と照らし合わせる
y = 2(x – 3)² + 1
　　↓　　↓　　↓
　 a=2　p=3　q=1

—

【(1) 頂点の座標】

y = 2(x – 3)² + 1

p = 3、q = 1 なので
頂点 = (3, 1)

【注意】
(x – 3)² の形なので、p = 3（符号に注意！）
(x + 2)² なら (x – (-2))² と考えて p = -2

—

【(2) 凸の向き】

a = 2 の値を確認

• a = 2 > 0（正の数）
→ 下に凸（∪型）

【グラフのイメージ】

    y
    │      ∪
    │     ╱  ╲
    │    ╱    ╲
  1 +---●      （頂点が最小値）
    │   (3,1)
    └───┼───────→ x
        3

【aの符号と凸の向き】
• a > 0（正）→ 下に凸（∪）→ 頂点が最小値
• a < 0（負）→ 上に凸（∩）→ 頂点が最大値

解答: x = 2, 3

【解法1: 因数分解（おすすめ）】

ステップ1: 因数分解できるか考える
x² – 5x + 6 = 0

「掛けて6、足して-5」になる2つの数を探す
• -2 × -3 = 6 ✓
• -2 + (-3) = -5 ✓

ステップ2: 因数分解する
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) = 0

ステップ3: 各因数を0とおく
(x – 2)(x – 3) = 0 より
x – 2 = 0 または x – 3 = 0
x = 2 または x = 3

答え: x = 2, 3

—

【解法2: 解の公式】

x² – 5x + 6 = 0 で、a = 1, b = -5, c = 6

ステップ1: 判別式を計算
D = b² – 4ac
　= (-5)² – 4×1×6
　= 25 – 24
　= 1 > 0（異なる2つの実数解）

ステップ2: 解の公式に代入
x = (-b ± √D) / (2a)
　= (-(-5) ± √1) / (2×1)
　= (5 ± 1) / 2

ステップ3: 2つの解を求める
x = (5 + 1) / 2 = 6/2 = 3
x = (5 – 1) / 2 = 4/2 = 2

答え: x = 2, 3