解答:
E(X) = 50
σ(X) = 2

—

【与えられた情報を整理】

母集団のパラメータ:
・母平均: μ = 50
・母標準偏差: σ = 10
・母分散: σ² = 100

標本:
・サンプルサイズ: n = 25

—

【ステップ1: 標本平均の期待値を求める】

公式:
E(X) = μ

標本平均の期待値は、母平均に等しい！

E(X) = 50

【意味】
何度も標本を取って平均を計算すると、
その平均値の平均は母平均50に近づく

—

【ステップ2: 標本平均の分散を求める】

公式:
V(X) = σ² / n

V(X) = 100 / 25 = 4

—

【ステップ3: 標本平均の標準偏差（標準誤差）を求める】

公式:
σ(X) = σ / √n = √(σ²/n)

σ(X) = √4 = 2

または
σ(X) = 10 / √25 = 10 / 5 = 2

—

【結果の解釈】

元のデータ:      平均50、標準偏差10
標本平均(n=25):  平均50、標準偏差2

標本平均の標準偏差は元の 1/5 になった！
（√25 = 5 で割られている）

【重要ポイント】
• サンプルサイズを増やすと標準誤差が小さくなる
• n=25 → 標準偏差は 1/√25 = 1/5 倍
• n=100 → 標準偏差は 1/√100 = 1/10 倍

これが「たくさんデータを集めると推定精度が上がる」理由！

解答:
(1) E(X) = 3.5, σ(X) ≒ 0.171
(2) 約0.758（75.8%）

—

【与えられた情報を整理】

サイコロの目（1〜6）の母集団:
・母平均: μ = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
・母分散: σ² = 35/12 ≒ 2.917
・母標準偏差: σ = √(35/12) ≒ 1.708

標本:
・サンプルサイズ: n = 100（100回振る）

—

【(1) 標本平均の期待値と標準偏差】

ステップ1: 期待値
E(X) = μ = 3.5

ステップ2: 分散
V(X) = σ²/n = (35/12)/100 = 35/1200

ステップ3: 標準偏差（標準誤差）
σ(X) = √(35/1200)
= √35 / √1200
= 5.916… / 34.64…
≒ 0.171

—

【(2) P(3.3 ≤ X ≤ 3.7) を求める】

ステップ1: 中心極限定理を適用
n = 100 は十分大きい（≥30）ので、中心極限定理より:
X ~ N(3.5, 35/1200) 近似的に

ステップ2: 標準化

X = 3.3 のとき:
Z = (3.3 – 3.5) / 0.171
= -0.2 / 0.171
≒ -1.17

X = 3.7 のとき:
Z = (3.7 – 3.5) / 0.171
= 0.2 / 0.171
≒ 1.17

ステップ3: 確率を計算
P(3.3 ≤ X ≤ 3.7) = P(-1.17 ≤ Z ≤ 1.17)

正規分布表より:
Φ(1.17) ≒ 0.879
Φ(-1.17) = 1 – Φ(1.17) ≒ 0.121

P(-1.17 ≤ Z ≤ 1.17) = 0.879 – 0.121 = 0.758

—

【結果の解釈】

サイコロを100回振ったとき、
出た目の平均が 3.3〜3.7 の範囲に入る確率は約76%

・真の平均は 3.5
・100回の平均は、約76%の確率で 3.3〜3.7 に収まる
・標準誤差が小さい（0.171）ので、真の平均の近くに集まる

【なぜこれが重要か】
サイコロの目は「正規分布ではない」（一様分布に近い）
でも、100回の平均は「正規分布に従う」（中心極限定理！）
これが推測統計学の基礎になる

解答:
標本分散（nで割る）: 8
不偏分散（n-1で割る）: 10

—

【ステップ1: 平均を計算】

X = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5
= 30 / 5
= 6

—

【ステップ2: 偏差と偏差の2乗を計算】

Xᵢ | Xᵢ - X̄ | (Xᵢ - X̄)²
───┼────────┼──────────
2  | 2 - 6 = -4 | 16
4  | 4 - 6 = -2 |  4
6  | 6 - 6 =  0 |  0
8  | 8 - 6 =  2 |  4
10 | 10 - 6 = 4 | 16
───┴────────┴──────────
合計               40

Σ(Xᵢ – X)² = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

—

【ステップ3: 標本分散を計算（nで割る）】

標本分散 = Σ(Xᵢ – X)² / n
= 40 / 5
= 8

—

【ステップ4: 不偏分散を計算（n-1で割る）】

不偏分散 = Σ(Xᵢ – X)² / (n-1)
= 40 / 4
= 10

—

【2つの分散の違い】

標本分散（nで割る）:
・そのデータ集合のばらつきを表す
・母分散の推定には向かない（過小評価）

不偏分散（n-1で割る）:
・母分散を推定するための値
・E(s²) = σ² となる（不偏性）
・統計的推測では通常こちらを使う

【自由度の直感的理解】
5個のデータの平均が6と分かっている場合、
4個のデータを自由に決めれば、5個目は自動的に決まる
→ 自由に動ける個数 = 5 – 1 = 4（自由度）

解答:
t統計量 = 1.0
自由度15のt分布に従う: t ~ t(15)

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

・サンプルサイズ: n = 16
・標本平均: X̄ = 52
・標本標準偏差: s = 8
・帰無仮説の母平均: μ₀ = 50
・母分散: 未知

—

【ステップ2: t統計量の公式を確認】

母分散が未知なので、t統計量を使う:
T = (X – μ₀) / (s / √n)

—

【ステップ3: 各部分を計算】

分子（標本平均と帰無仮説の差）:
X – μ₀ = 52 – 50 = 2

分母（標準誤差の推定値）:
s / √n = 8 / √16 = 8 / 4 = 2

—

【ステップ4: t統計量を計算】

T = 2 / 2 = 1.0

—

【ステップ5: 自由度を確認】

自由度 = n – 1 = 16 – 1 = 15

—

【結論】
t統計量 T = 1.0 は自由度15のt分布に従う
T ~ t(15)

—

【z統計量との違い】

母分散が既知のとき:
Z = (X̄ - μ) / (σ / √n) ~ N(0,1)
→ 正規分布表を使う

母分散が未知のとき:
T = (X̄ - μ) / (s / √n) ~ t(n-1)
→ t分布表を使う

※ sはσの推定値なので、不確実性が増す
※ その分、裾が厚くなる（t分布）