解答: [0.352, 0.448]（約35.2%〜44.8%）

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

・調査対象: n = 400人
・賛成者数: X = 160人
・信頼係数: 95%（α = 0.05）
・求めるもの: 母比率pの信頼区間

—

【ステップ2: 標本比率を計算】

p-hat = X / n
= 160 / 400
= 0.4（40%）

—

【ステップ3: 正規近似の条件を確認】

np-hat = 400 × 0.4 = 160 ≥ 5 ✓
n(1-p-hat) = 400 × 0.6 = 240 ≥ 5 ✓

両方満たすので正規近似が使える！

—

【ステップ4: 使う公式を確認】

p-hat ± z(α/2) × √[p-hat(1-p-hat)/n]

—

【ステップ5: z値を確認】

95%信頼区間なので:
α = 0.05, α/2 = 0.025
z(0.025) = 1.96

—

【ステップ6: 標準誤差を計算】

SE = √[p-hat(1-p-hat)/n]

まず p-hat(1-p-hat) を計算:
= 0.4 × 0.6 = 0.24

次に n で割る:
= 0.24 / 400 = 0.0006

最後に平方根:
SE = √0.0006 = 0.0245

—

【ステップ7: 誤差（margin of error）を計算】

E = z × SE
= 1.96 × 0.0245
= 0.048（約4.8%）

—

【ステップ8: 信頼区間を計算】

下側信頼限界:
p-hat – E = 0.4 – 0.048 = 0.352

上側信頼限界:
p-hat + E = 0.4 + 0.048 = 0.448

—

【答え】
95%信頼区間: [0.352, 0.448]
または [35.2%, 44.8%]

—

【結果の解釈】

「同じ方法で100回調査すれば、
約95回は真の賛成率がこの区間
[35.2%, 44.8%]に含まれる」

※「賛成率が35〜45%の間」という
 ニュースの報道でよく見る表現！

—

【計算のまとめ】

標本比率: p-hat = 160/400 = 0.4
標準誤差: SE = √[0.4×0.6/400] = 0.0245
誤差: E = 1.96 × 0.0245 = 0.048
信頼区間: 0.4 ± 0.048 = [0.352, 0.448]

解答: 1068人

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

・許容誤差: E = ±3% = 0.03
・信頼係数: 95%（α = 0.05）
・母比率の事前情報: なし → p-hat = 0.5を使用
・求めるもの: 必要な標本サイズn

—

【ステップ2: 使う公式を確認】

n = z² × p-hat(1-p-hat) / E²

事前情報がないので p-hat = 0.5 を使用

n = z² × 0.25 / E²

—

【ステップ3: z値を確認】

95%信頼区間なので:
z(0.025) = 1.96

—

【ステップ4: 各値を代入して計算】

z²を計算:
z² = (1.96)² = 3.8416

E²を計算:
E² = (0.03)² = 0.0009

nを計算:
n = 3.8416 × 0.25 / 0.0009
= 0.9604 / 0.0009
= 1067.1…

—

【ステップ5: 切り上げる】

標本サイズは整数なので切り上げ:
n = 1068人

【なぜ切り上げ？】
切り捨てると誤差が指定値を超える可能性があるため

—

【答え】
必要な標本サイズ: 1068人

—

【実務での示唆】

世論調査で「誤差±3%」と報道されるとき、
約1000人程度の調査が行われている！

よく見る調査規模の目安:
・誤差±5% → 約400人
・誤差±3% → 約1100人
・誤差±2% → 約2400人
・誤差±1% → 約9600人

—

【検算】
n = 1068で実際の誤差を確認:
E = 1.96 × √(0.25/1068)
= 1.96 × √0.000234
= 1.96 × 0.0153
= 0.030 = 3.0% ✓

p-hat = 0.1 → 0.1×0.9 = 0.09
p-hat = 0.2 → 0.2×0.8 = 0.16
p-hat = 0.3 → 0.3×0.7 = 0.21
p-hat = 0.4 → 0.4×0.6 = 0.24
p-hat = 0.5 → 0.5×0.5 = 0.25 ← 最大！
p-hat = 0.6 → 0.6×0.4 = 0.24
p-hat = 0.7 → 0.7×0.3 = 0.21
        

解答: 865個

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

・許容誤差: E = ±2% = 0.02
・信頼係数: 95%（α = 0.05）
・事前情報: p-hat ≈ 0.1（10%と予想）
・求めるもの: 必要な標本サイズn

—

【ステップ2: 事前情報を使う利点】

p-hat = 0.5 を使う場合:
p-hat(1-p-hat) = 0.25

p-hat = 0.1 を使う場合:
p-hat(1-p-hat) = 0.1 × 0.9 = 0.09

0.09 < 0.25 なので、必要なnが少なくて済む！

—

【ステップ3: 公式に代入】

n = z² × p-hat(1-p-hat) / E²

z² = (1.96)² = 3.8416
p-hat(1-p-hat) = 0.1 × 0.9 = 0.09
E² = (0.02)² = 0.0004

—

【ステップ4: 計算】

n = 3.8416 × 0.09 / 0.0004
= 0.3457 / 0.0004
= 864.4…

—

【ステップ5: 切り上げる】

n = 865個

—

【答え】
必要な標本サイズ: 865個

—

【p-hat = 0.5を使った場合との比較】

事前情報なし（p-hat = 0.5）の場合:
n = 3.8416 × 0.25 / 0.0004 = 2401個

事前情報あり（p-hat = 0.1）の場合:
n = 865個

→ 事前情報を使うと、サンプルサイズが
  約1/3で済む！（コスト削減）

—

【注意点】

事前情報が外れた場合のリスク:
・予想10%だったが実際は40%だった場合、
  誤差が±2%を超える可能性あり
・安全を優先するなら p-hat = 0.5 を使う

解答: 1600

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

・現在のサンプルサイズ: n = 400
・現在の誤差: E = ±5%
・目標の誤差: E' = ±2.5%（現在の1/2）
・求めるもの: 必要なサンプルサイズn'

—

【ステップ2: 誤差とサンプルサイズの関係を確認】

E ∝ 1/√n

つまり:
E × √n = 定数

—

【ステップ3: 関係式を立てる】

現在: E × √n = k（定数）
目標: E’ × √n’ = k

両方とも同じ定数kなので:
E × √n = E’ × √n’

—

【ステップ4: n’を求める】

E’ = E/2 なので:

E × √400 = (E/2) × √n’
E × 20 = (E/2) × √n’
20 = (1/2) × √n’
√n’ = 40
n’ = 1600

—

【答え】
必要なサンプルサイズ: 1600

—

【別解: 倍率で考える】

誤差を 1/k 倍にするには、nを k² 倍

誤差を 1/2 倍（半分）にしたい
→ nを 2² = 4倍
→ n' = 400 × 4 = 1600

—

【一般的な関係】

誤差を 1/2 にする → n を 4倍
誤差を 1/3 にする → n を 9倍
誤差を 1/4 にする → n を 16倍
誤差を 1/10 にする → n を 100倍

※精度を上げるのはコストがかかる！

—

【検算】

n = 400 のとき: E = z × √(p-hat(1-p-hat)/400)
n = 1600 のとき: E' = z × √(p-hat(1-p-hat)/1600)

E'/E = √(400/1600) = √(1/4) = 1/2 ✓