🔢 STEP 12: カイ二乗検定

適合度検定、独立性の検定、分割表の分析をマスターしよう

📖 このステップで学ぶこと

カイ二乗分布、適合度検定、独立性の検定、分割表の分析を学びます。

📝 練習問題: 15問
🎯 到達目標: 適合度検定ができる、独立性の検定ができる、分割表の分析ができる、期待度数の計算ができる

1️⃣ カイ二乗分布とは

        カイ二乗分布（χ²分布）

        標準正規分布に従う変数の二乗和の分布

        Z₁, Z₂, …, Zₖ が独立に N(0, 1) に従うとき、

        χ² = Z₁² + Z₂² + … + Zₖ² は χ²(k) に従う

        特徴:

        • 自由度kのパラメータで形状が決まる

        • 0以上の値のみ取る（負の値は取らない）

        • 右に裾を引いた形（非対称）

        • 自由度が大きいほど正規分布に近づく

💡 カイ二乗分布の用途
• 適合度検定: 観測度数が理論分布に適合するか
• 独立性の検定: 2つの質的変数が独立か
• 分散の検定: 母分散の検定（F検定の基礎）

⚠️ カイ二乗検定の対象
カイ二乗検定は質的データ（カテゴリデータ）を扱う検定です。
連続データ（量的データ）にはt検定や分散分析を使います。

2️⃣ 適合度検定（Goodness-of-Fit Test）

        適合度検定

        観測された度数分布が、理論的な分布に適合するかを検定

        H₀: 観測度数は理論分布に従う

        H₁: 理論分布に従わない

        検定統計量:

        χ² = Σ[(観測度数 – 期待度数)² / 期待度数]

        χ² = Σ[(Oᵢ – Eᵢ)² / Eᵢ]

        自由度: ν = k – 1（k:カテゴリ数）

        ※パラメータを推定した場合は ν = k – 1 – s（s:推定したパラメータ数）

例題1: サイコロを120回振った結果

目123456合計
観測度数251822191719120

このサイコロは公平といえるか検定しなさい（α=0.05）

χ²(5, 0.05) = 11.07

目	1	2	3	4	5	6	合計
観測度数	25	18	22	19	17	19	120

結論: 公平なサイコロといえる（H₀を棄却できない）

—

【ステップ1: 問題の状況を理解】

「公平なサイコロ」とは？
→ 各目が等確率（1/6）で出る

検定の種類: 適合度検定
→ 観測データが理論分布（均等分布）に従うか

—

【ステップ2: 仮説を設定】

H₀（帰無仮説）: 各目の出る確率は等しい（p = 1/6）
H₁（対立仮説）: 各目の出る確率は等しくない

※両側検定（偏りがあるかどうかを検定）

—

【ステップ3: 期待度数を計算】

公平なサイコロなら、各目は同じ回数出るはず

期待度数 E = 全体の回数 × 確率
         = 120 × (1/6)
         = 20

各目の期待度数:
目:     1   2   3   4   5   6
期待:  20  20  20  20  20  20

—

【ステップ4: 自由度を確認】

自由度 ν = カテゴリ数 - 1
       = 6 - 1
       = 5

※6つの度数のうち、5つが決まれば
  残り1つは自動的に決まる（合計120だから）

—

【ステップ5: 検定統計量χ²を計算】

公式: χ² = Σ[(Oᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ]

各項を計算:
目1: (25-20)²/20 = 25/20 = 1.25
目2: (18-20)²/20 = 4/20  = 0.20
目3: (22-20)²/20 = 4/20  = 0.20
目4: (19-20)²/20 = 1/20  = 0.05
目5: (17-20)²/20 = 9/20  = 0.45
目6: (19-20)²/20 = 1/20  = 0.05

χ² = 1.25 + 0.20 + 0.20 + 0.05 + 0.45 + 0.05
   = 2.20

—

【ステップ6: 棄却域を確認】

有意水準: α = 0.05
自由度: ν = 5
臨界値: χ²(5, 0.05) = 11.07

棄却域: χ² > 11.07

—

【ステップ7: 判定】

計算したχ² = 2.20
臨界値 = 11.07

2.20 < 11.07 なので棄却域に入らない

→ H₀を棄却できない

---

【ステップ8: 結論を述べる】

「有意水準5%で、このサイコロは公平といえる」

※正確には「公平でないとはいえない」
  （帰無仮説を棄却できなかっただけで、
   公平であることを証明したわけではない）

---

【計算のまとめ】

目	観測O	期待E	O-E	(O-E)²	(O-E)²/E
1	25	20	5	25	1.25
2	18	20	-2	4	0.20
3	22	20	2	4	0.20
4	19	20	-1	1	0.05
5	17	20	-3	9	0.45
6	19	20	-1	1	0.05
合計	120	120	0	-	2.20

⚡ 適合度検定の条件
• 各カテゴリの期待度数が5以上
• 期待度数が小さい場合は、カテゴリを統合する

3️⃣ 独立性の検定（Test of Independence）

        独立性の検定

        2つの質的変数が独立かどうかを検定

        H₀: 2変数は独立（関連がない）

        H₁: 2変数は独立でない（関連がある）

        検定統計量:

        χ² = Σ[(Oᵢⱼ - Eᵢⱼ)² / Eᵢⱼ]

        自由度: ν = (r - 1)(c - 1)

        （r:行数、c:列数）

期待度数の計算

        期待度数の公式:

        Eᵢⱼ = (行iの合計 × 列jの合計) / 全体の合計

        意味:

        もし2変数が独立なら、各セルの度数はこの値になるはず

例題2: 性別と商品購入の関連を調べる

購入非購入合計
男性302050
女性203050
合計5050100

性別と購入に関連があるか検定しなさい（α=0.05）

χ²(1, 0.05) = 3.84

	購入	非購入	合計
男性	30	20	50
女性	20	30	50
合計	50	50	100

結論: 性別と購入には関連がある（H₀を棄却）

---

【ステップ1: 問題の状況を理解】

調べたいこと:
「性別」と「購入/非購入」に関連があるか？

検定の種類: 独立性の検定
→ 2つの質的変数が独立かどうか

---

【ステップ2: 仮説を設定】

H₀（帰無仮説）: 性別と購入は独立（関連なし）
H₁（対立仮説）: 性別と購入は独立でない（関連あり）

---

【ステップ3: 期待度数を計算】

公式: E = (行合計 × 列合計) / 全体合計

E(男性,購入) = (50 × 50) / 100 = 25
E(男性,非購入) = (50 × 50) / 100 = 25
E(女性,購入) = (50 × 50) / 100 = 25
E(女性,非購入) = (50 × 50) / 100 = 25

期待度数の表:
         購入  非購入
男性      25    25
女性      25    25

---

【ステップ4: 自由度を計算】

自由度 ν = (行数 - 1) × (列数 - 1)
       = (2 - 1) × (2 - 1)
       = 1 × 1
       = 1

---

【ステップ5: 検定統計量χ²を計算】

公式: χ² = Σ[(O - E)² / E]

各セルを計算:
(男性,購入): (30-25)²/25 = 25/25 = 1.0
(男性,非購入): (20-25)²/25 = 25/25 = 1.0
(女性,購入): (20-25)²/25 = 25/25 = 1.0
(女性,非購入): (30-25)²/25 = 25/25 = 1.0

χ² = 1.0 + 1.0 + 1.0 + 1.0 = 4.0

---

【ステップ6: 棄却域を確認】

有意水準: α = 0.05
自由度: ν = 1
臨界値: χ²(1, 0.05) = 3.84

棄却域: χ² > 3.84

---

【ステップ7: 判定】

計算したχ² = 4.0
臨界値 = 3.84

4.0 > 3.84 なので棄却域に入る

→ H₀を棄却

---

【ステップ8: 結論を述べる】

「有意水準5%で、性別と購入には関連がある」

データの傾向を見ると:
・男性は購入が多い（30 vs 期待25）
・女性は非購入が多い（30 vs 期待25）
→ 男性の方が購入しやすい傾向がある

---

【計算のまとめ】

セル	観測O	期待E	O-E	(O-E)²/E
男性×購入	30	25	5	1.0
男性×非購入	20	25	-5	1.0
女性×購入	20	25	-5	1.0
女性×非購入	30	25	5	1.0
χ²の合計				4.0

💡 独立性の検定のポイント
• 「独立」= 一方の変数が他方に影響しない
• 「関連がある」= H₀を棄却した場合
• 関連の方向性（どちらが多い/少ない）は別途分析

4️⃣ 分割表（クロス集計表）の分析

        分割表（Contingency Table）

        2つの質的変数のクロス集計

        表の構成:

        • 行: 変数1のカテゴリ

        • 列: 変数2のカテゴリ

        • セル: 各組み合わせの度数（観測度数）

        • 周辺度数: 各行・各列の合計

例題3: 3×2の分割表（薬の効果）

薬A薬B合計
有効403070
やや有効302050
無効102030
合計8070150

効果と薬の種類に関連があるか検定しなさい（α=0.05）

χ²(2, 0.05) = 5.99

	薬A	薬B	合計
有効	40	30	70
やや有効	30	20	50
無効	10	20	30
合計	80	70	150

結論: 効果と薬の種類には関連がある（H₀を棄却）

---

【ステップ1: 問題の状況を理解】

調べたいこと:
「薬の種類（A/B）」と「効果（有効/やや有効/無効）」に関連があるか？

検定の種類: 独立性の検定（3×2分割表）

---

【ステップ2: 仮説を設定】

H₀（帰無仮説）: 効果と薬の種類は独立（関連なし）
H₁（対立仮説）: 効果と薬の種類は独立でない（関連あり）

---

【ステップ3: 期待度数を計算】

公式: E = (行合計 × 列合計) / 全体合計

E(有効,薬A) = (70 × 80) / 150 = 5600/150 ≈ 37.33
E(有効,薬B) = (70 × 70) / 150 = 4900/150 ≈ 32.67
E(やや有効,薬A) = (50 × 80) / 150 = 4000/150 ≈ 26.67
E(やや有効,薬B) = (50 × 70) / 150 = 3500/150 ≈ 23.33
E(無効,薬A) = (30 × 80) / 150 = 2400/150 = 16.00
E(無効,薬B) = (30 × 70) / 150 = 2100/150 = 14.00

---

【ステップ4: 自由度を計算】

自由度 ν = (行数 - 1) × (列数 - 1)
       = (3 - 1) × (2 - 1)
       = 2 × 1
       = 2

---

【ステップ5: 検定統計量χ²を計算】

公式: χ² = Σ[(O - E)² / E]

各セルを計算:
(有効,薬A): (40-37.33)²/37.33 = 7.13/37.33 ≈ 0.19
(有効,薬B): (30-32.67)²/32.67 = 7.13/32.67 ≈ 0.22
(やや有効,薬A): (30-26.67)²/26.67 = 11.09/26.67 ≈ 0.42
(やや有効,薬B): (20-23.33)²/23.33 = 11.09/23.33 ≈ 0.48
(無効,薬A): (10-16.00)²/16.00 = 36/16 = 2.25
(無効,薬B): (20-14.00)²/14.00 = 36/14 ≈ 2.57

χ² = 0.19 + 0.22 + 0.42 + 0.48 + 2.25 + 2.57
   ≈ 6.13

---

【ステップ6: 棄却域を確認】

有意水準: α = 0.05
自由度: ν = 2
臨界値: χ²(2, 0.05) = 5.99

棄却域: χ² > 5.99

---

【ステップ7: 判定】

計算したχ² ≈ 6.13
臨界値 = 5.99

6.13 > 5.99 なので棄却域に入る

→ H₀を棄却

---

【ステップ8: 結論を述べる】

「有意水準5%で、効果と薬の種類には関連がある」

データの傾向を詳しく見ると:
・薬A: 有効が多い（40 vs 期待37.33）、無効が少ない（10 vs 16）
・薬B: 無効が多い（20 vs 期待14）

→ 薬Aの方が効果が高い傾向がある

---

【計算のまとめ】

セル	観測O	期待E	O-E	(O-E)²/E
有効×薬A	40	37.33	2.67	0.19
有効×薬B	30	32.67	-2.67	0.22
やや有効×薬A	30	26.67	3.33	0.42
やや有効×薬B	20	23.33	-3.33	0.48
無効×薬A	10	16.00	-6.00	2.25
無効×薬B	20	14.00	6.00	2.57
χ²の合計				6.13

---

【χ²が大きくなった原因】

χ²への寄与が大きいセル:
・無効×薬A: 2.25（観測10、期待16 → 期待より少ない）
・無効×薬B: 2.57（観測20、期待14 → 期待より多い）

この2つで全体の79%を占める
→ 「無効」カテゴリでの差が関連の主な原因

💡 分割表分析のポイント
• 期待度数は (行合計×列合計)/全体合計
• 自由度は (行数-1)×(列数-1)
• すべてのセルで期待度数≥5が必要
• χ²への寄与が大きいセルを確認すると、関連の原因がわかる

5️⃣ イエーツの連続性補正

        イエーツの補正（Yates' Correction）

        2×2分割表でサンプルサイズが小さい場合に使用

        補正後の統計量:

        χ² = Σ[(|Oᵢⱼ - Eᵢⱼ| - 0.5)² / Eᵢⱼ]

        |Oᵢⱼ - Eᵢⱼ| から0.5を引いてから二乗する

2×2分割表で全体のサンプルサイズが40未満、または期待度数が5未満のセルがある場合に、イエーツの補正を適用することが推奨されます。

⚠️ カイ二乗検定の注意点
• 期待度数が5未満のセルがある → カテゴリ統合またはフィッシャーの正確検定
• 2×2表で小サンプル → イエーツの補正
• 順序カテゴリ → 傾向性の検定を検討
• 対応のあるデータ → マクネマー検定を使用

📊 適合度検定 vs 独立性の検定

        使い分けのフローチャート

        質問: 何を調べたいか？

        A. 1つの変数の分布が理論と合うか？

        → 適合度検定

        例: サイコロの公平性、遺伝の法則の確認

        自由度: k - 1

        B. 2つの変数に関連があるか？

        → 独立性の検定

        例: 性別と購入、薬と効果

        自由度: (r-1)(c-1)

📝 練習問題（15問）

このステップの理解度を確認しましょう。12問以上正解できれば次のステップへ進めます。

問題 1

カイ二乗統計量

カイ二乗検定の統計量の公式は？

解答: χ² = Σ[(O - E)² / E]

【解き方】
O: 観測度数（実際に観測された値）
E: 期待度数（理論的に期待される値）
各セルで計算して合計する

問題 2

適合度検定の自由度

カテゴリが5つの適合度検定で、自由度は？

解答: ν = 4

【解き方】
適合度検定の自由度: ν = k - 1
ν = 5 - 1 = 4

問題 3

独立性検定の自由度

3×4の分割表で、自由度は？

解答: ν = 6

【解き方】
独立性検定の自由度: ν = (r-1)(c-1)
ν = (3-1)(4-1) = 2 × 3 = 6

問題 4

期待度数の公式

分割表で期待度数の計算式は？

解答: E = (行合計×列合計) / 全体合計

【解き方】
独立の仮定の下での期待値
「もし2変数が独立なら、この度数になるはず」という値

問題 5

適用条件

カイ二乗検定を適用する条件は？

解答: 各セルの期待度数が5以上

【解き方】
満たさない場合はカテゴリ統合
またはフィッシャーの正確検定を使用

問題 6

独立性の帰無仮説

独立性の検定で、H₀は何か？

解答: 2つの変数は独立（関連がない）

【解き方】
H₀: 独立（関連なし）
H₁: 独立でない（関連あり）

問題 7

計算問題1

O=30, E=25のとき、(O-E)²/E は？

解答: 1.0

【解き方】
(O-E)²/E = (30-25)²/25
= 5²/25 = 25/25 = 1.0

問題 8

計算問題2

行合計50、列合計60、全体100。期待度数は？

解答: E = 30

【解き方】
E = (行合計 × 列合計) / 全体
= (50 × 60) / 100 = 3000/100 = 30

問題 9

2×2分割表

2×2分割表の自由度は？

解答: ν = 1

【解き方】
ν = (2-1)(2-1) = 1 × 1 = 1

問題 10

イエーツの補正

イエーツの補正を使うのはどんな時？

解答: 2×2表で小サンプル（n<40）

【解き方】
または期待度数<5のセルがある時
|O-E|から0.5を引く補正

問題 11

検定の種類

サイコロの目の出方の公平性を調べる検定は？

解答: 適合度検定

【解き方】
1つの変数の分布が理論（均等）に従うか
自由度 = 6 - 1 = 5

問題 12

検定の種類2

性別と支持政党の関連を調べる検定は？

解答: 独立性の検定

【解き方】
2つの質的変数（性別、支持政党）の独立性
分割表を作成して検定

問題 13

総合問題1

4×3の分割表で、α=0.05のとき自由度は？

解答: ν = 6

【解き方】
自由度 = (4-1)(3-1) = 3 × 2 = 6
χ²(6, 0.05) ≈ 12.59

問題 14

総合問題2

χ² = 8.5、ν=3、α=0.05のとき判定は？（χ²(3,0.05)=7.81）

解答: H₀を棄却

【解き方】
棄却域: χ² > 7.81
8.5 > 7.81 なので棄却域に入る

問題 15

総合問題3

カイ二乗検定で有意差が出た。因果関係があるといえるか？

解答: いえない

【解き方】
関連がある ≠ 因果関係がある
交絡因子（第三の変数）の可能性
因果関係の証明には実験や追加の分析が必要

⚠️ よくあるつまずきポイントと対策

適合度検定と独立性検定を混同する

対策: 変数の数で判断しましょう。

適合度検定: 1つの変数の分布 → 自由度 = k - 1
独立性検定: 2つの変数の関連 → 自由度 = (r-1)(c-1)

期待度数の計算を間違える

対策: 「行×列÷全体」を必ず確認しましょう。

E = (行合計 × 列合計) / 全体合計
期待度数の合計 = 観測度数の合計（検算に使える）
各行の期待度数合計 = その行の観測合計

自由度の公式を間違える

対策: 検定の種類ごとに公式を覚えましょう。

適合度検定: ν = k - 1（カテゴリ数 - 1）
独立性検定: ν = (r-1)(c-1)（行-1）×（列-1）
2×2分割表は必ず自由度1

「関連がある」と「因果関係がある」を混同する

対策: カイ二乗検定でわかるのは「関連」だけです。

有意 = 関連がある（偶然とは考えにくい）
因果関係は別の分析や実験が必要
交絡因子（第三の変数）の可能性を考える

📚 このステップのまとめ

🎯 学習したこと

カイ二乗分布: 標準正規分布の二乗和、質的データの検定に使用
適合度検定: 理論分布との適合性、自由度 = k - 1
独立性の検定: 2変数の独立性、自由度 = (r-1)(c-1)
期待度数: (行合計×列合計)/全体合計
検定統計量: χ² = Σ[(O-E)²/E]
適用条件: 期待度数≥5

💡 次のステップへ進む前に
練習問題で12問以上（80%以上）正解できたら、STEP 13に進みましょう！

カイ二乗検定は質的データの分析に必須です。
期待度数の計算と自由度の求め方をしっかり理解しましょう！

📝

学習メモ

統計検定2級対策 - Step 12

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