Step 2c: 微分法と積分法の基礎
統計学の理論を支える「変化」と「合計」の数学を、基礎からしっかり理解しましょう
📚 このステップで学ぶこと
統計学準1級レベルでは、微分と積分が頻繁に登場します。最尤推定では微分を使ってパラメータの最適値を求め、確率の計算では積分を使って確率密度関数から確率を計算します。
🎯 なぜこれらを学ぶのか？
- 微分：尤度関数を最大化する「最尤推定」に必須。$\frac{dL}{d\theta} = 0$ を解いてパラメータを求める
- 積分：確率密度関数から確率を計算。$P(a ≦ X ≦ b) = \int_a^b f(x)\,dx$
- 期待値計算：連続型確率変数の期待値 $E[X] = \int x f(x)\,dx$ に必要
- 極値の判定：関数の最大・最小を見つける基本技術
1. 微分とは何か？
1.1 微分の直感的な意味
微分を一言で表すと、「関数の瞬間の変化率」を求めることです。
💡 身近な例で理解しよう
車の速度計を思い浮かべてください。
別の例：
売上 $f(x)$ が広告費 $x$ の関数のとき、$f'(x)$ は「広告費を1円増やしたら売上がいくら増えるか」を表します。
車の速度計を思い浮かべてください。
- 位置 $x(t)$：時刻 $t$ での車の位置
- 速度：位置の変化率 = 微分 $x'(t)$
別の例：
売上 $f(x)$ が広告費 $x$ の関数のとき、$f'(x)$ は「広告費を1円増やしたら売上がいくら増えるか」を表します。
1.2 微分の定義
では、数学的に「瞬間の変化率」をどう定義するのでしょうか？
📖 平均変化率から瞬間変化率へ
まず、$x$ が $h$ だけ変化したときの平均変化率を考えます：
$$\text{平均変化率} = \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$ これは「$x$ から $x+h$ までの間で、平均してどれだけ変化したか」です。
次に、$h$ を限りなく $0$ に近づけると、瞬間変化率になります。
まず、$x$ が $h$ だけ変化したときの平均変化率を考えます：
$$\text{平均変化率} = \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$ これは「$x$ から $x+h$ までの間で、平均してどれだけ変化したか」です。
次に、$h$ を限りなく $0$ に近づけると、瞬間変化率になります。
⭐ 微分（導関数）の定義
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は次のように定義されます：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$ 【読み方】「$h$ を $0$ に近づけたときの極限」
記号のバリエーション：
$f'(x)$、$\dfrac{df}{dx}$、$\dfrac{d}{dx}f(x)$ はすべて同じ意味
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は次のように定義されます：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$ 【読み方】「$h$ を $0$ に近づけたときの極限」
記号のバリエーション：
$f'(x)$、$\dfrac{df}{dx}$、$\dfrac{d}{dx}f(x)$ はすべて同じ意味
1.3 微分の幾何学的意味
$f'(x)$ は、グラフ $y = f(x)$ 上の点 $(x, f(x))$ における接線の傾きを表します。
📈 傾きと増減の関係
| 微分の値 | 意味 | グラフの形 |
| $f'(x) > 0$ | 増加している | 右上がり ↗ |
| $f'(x) < 0$ | 減少している | 右下がり ↘ |
| $f'(x) = 0$ | 水平（極値の候補） | 山の頂上か谷底 |
2. 微分の計算方法
2.1 基本公式
よく使う関数の微分公式を整理しました。まずはこれらを確実に覚えましょう。
⭐ 微分の基本公式一覧
| 関数 $f(x)$ | 導関数 $f'(x)$ | 覚え方 |
| $c$（定数） | $0$ | 定数は変化しない |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | 指数を前に出し、指数を1減らす |
| $e^x$ | $e^x$ | 微分しても変わらない特別な関数 |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $e^x$ の逆関数 |
| $\sin x$ | $\cos x$ | sin → cos |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | cos → −sin（マイナス注意） |
例題1：べき乗の微分
問題：次の関数を微分しなさい。
(1) $f(x) = x^3$ (2) $f(x) = x^5$ (3) $f(x) = \dfrac{1}{x}$
解答：
(1) $f(x) = x^3$ の微分
【Step 1】公式 $(x^n)’ = nx^{n-1}$ を確認
【Step 2】$n = 3$ を代入
$$f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$$
(2) $f(x) = x^5$ の微分
【Step 1】$n = 5$ を代入
$$f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4$$
(3) $f(x) = \dfrac{1}{x}$ の微分
【Step 1】まず、指数を使った形に書き換える
$$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$$
【Step 2】$n = -1$ として公式を適用
$$f'(x) = (-1)x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$
(1) $f(x) = x^3$ の微分
【Step 1】公式 $(x^n)’ = nx^{n-1}$ を確認
【Step 2】$n = 3$ を代入
$$f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$$
(2) $f(x) = x^5$ の微分
【Step 1】$n = 5$ を代入
$$f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4$$
(3) $f(x) = \dfrac{1}{x}$ の微分
【Step 1】まず、指数を使った形に書き換える
$$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$$
【Step 2】$n = -1$ として公式を適用
$$f'(x) = (-1)x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$
2.2 計算の法則（線形性）
複数の項がある関数は、項ごとに微分して足し合わせればOKです。
📐 微分の計算法則
① 定数倍を外に出せる
$$\{cf(x)\}’ = c \cdot f'(x)$$
② 和を分けられる
$$\{f(x) + g(x)\}’ = f'(x) + g'(x)$$
③ 差も分けられる
$$\{f(x) – g(x)\}’ = f'(x) – g'(x)$$
つまり、各項を別々に微分してから足し引きすれば良いのです。
① 定数倍を外に出せる
$$\{cf(x)\}’ = c \cdot f'(x)$$
② 和を分けられる
$$\{f(x) + g(x)\}’ = f'(x) + g'(x)$$
③ 差も分けられる
$$\{f(x) – g(x)\}’ = f'(x) – g'(x)$$
つまり、各項を別々に微分してから足し引きすれば良いのです。
例題2：多項式の微分
問題：$f(x) = 3x^4 – 2x^2 + 5$ を微分しなさい。
解答：
【Step 1】各項を別々に微分します
【Step 2】結果を足し合わせます
$$f'(x) = 12x^3 – 4x + 0 = 12x^3 – 4x$$
【Step 1】各項を別々に微分します
- $3x^4$ の微分：$3 \times 4x^3 = 12x^3$
- $-2x^2$ の微分：$-2 \times 2x = -4x$
- $5$（定数）の微分：$0$
【Step 2】結果を足し合わせます
$$f'(x) = 12x^3 – 4x + 0 = 12x^3 – 4x$$
2.3 積の微分公式
2つの関数のかけ算を微分するには、専用の公式が必要です。
⭐ 積の微分公式
$$\{f(x) \cdot g(x)\}’ = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$
覚え方：「前を微分 × 後ろそのまま」＋「前そのまま × 後ろを微分」
$$\{f(x) \cdot g(x)\}’ = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$
覚え方：「前を微分 × 後ろそのまま」＋「前そのまま × 後ろを微分」
例題3：積の微分
問題：$f(x) = x^2 \cdot e^x$ を微分しなさい。
解答：
【Step 1】2つの関数に分けて考えます
【Step 2】積の微分公式を適用します
$$f'(x) = (x^2)’ \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)’$$ $$= 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$$
【Step 3】共通因数 $e^x$ でまとめます
$$= (2x + x^2)e^x = x(2 + x)e^x$$
【Step 1】2つの関数に分けて考えます
- 前の関数：$x^2$ → 微分すると $2x$
- 後ろの関数：$e^x$ → 微分すると $e^x$
【Step 2】積の微分公式を適用します
$$f'(x) = (x^2)’ \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)’$$ $$= 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$$
【Step 3】共通因数 $e^x$ でまとめます
$$= (2x + x^2)e^x = x(2 + x)e^x$$
2.4 商の微分公式
分数の形（割り算）を微分するときは、次の公式を使います。
⭐ 商の微分公式
$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$
覚え方：「分子 = 上の微分×下 − 上×下の微分」、「分母 = 下の2乗」
$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$
覚え方：「分子 = 上の微分×下 − 上×下の微分」、「分母 = 下の2乗」
例題4：商の微分
問題：$f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ を微分しなさい。
解答：
【Step 1】分子と分母を確認します
【Step 2】商の微分公式を適用します
$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) – x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$
【Step 3】分子を整理します
$$= \frac{x^2 + 1 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2}$$
【Step 1】分子と分母を確認します
- 分子：$f(x) = x$ → 微分すると $f'(x) = 1$
- 分母：$g(x) = x^2 + 1$ → 微分すると $g'(x) = 2x$
【Step 2】商の微分公式を適用します
$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) – x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$
【Step 3】分子を整理します
$$= \frac{x^2 + 1 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2}$$
3. 合成関数の微分（連鎖律）
3.1 合成関数とは
関数の中に別の関数が入っているものを合成関数といいます。
💡 合成関数のイメージ
例：$f(x) = (x^2 + 1)^3$
「$x^2 + 1$ を計算してから、その結果を3乗する」という2段階の操作です。
例：$f(x) = (x^2 + 1)^3$
- 外側の関数：$( \quad )^3$（3乗する関数）
- 内側の関数：$x^2 + 1$（カッコの中身）
「$x^2 + 1$ を計算してから、その結果を3乗する」という2段階の操作です。
3.2 連鎖律（Chain Rule）
合成関数を微分するには、連鎖律という強力な公式を使います。
⭐ 連鎖律（チェーンルール）
$y = f(u)$、$u = g(x)$ のとき（つまり $y = f(g(x))$）：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
別の書き方：
$$\{f(g(x))\}’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
覚え方：「外側を微分 × 内側を微分」
$y = f(u)$、$u = g(x)$ のとき（つまり $y = f(g(x))$）：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
別の書き方：
$$\{f(g(x))\}’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
覚え方：「外側を微分 × 内側を微分」
📐 連鎖律の手順
- 内側の関数（カッコの中身）を $u$ とおく
- 外側の関数を $u$ で微分する
- 内側の関数 $u$ を $x$ で微分する
- 2つの結果をかけ算する
- $u$ を元の式に戻す
例題5：合成関数の微分
問題：次の関数を微分しなさい。
(1) $f(x) = (x^2 + 1)^3$ (2) $f(x) = e^{2x}$
解答：
(1) $f(x) = (x^2 + 1)^3$ の微分
【Step 1】内側を $u$ とおく
$u = x^2 + 1$ とおくと、$f = u^3$
【Step 2】外側を微分
$\dfrac{df}{du} = 3u^2$
【Step 3】内側を微分
$\dfrac{du}{dx} = 2x$
【Step 4】連鎖律でかけ算
$$f'(x) = 3u^2 \cdot 2x = 6xu^2$$
【Step 5】$u$ を元に戻す
$$f'(x) = 6x(x^2 + 1)^2$$
(2) $f(x) = e^{2x}$ の微分
【Step 1】$u = 2x$ とおくと、$f = e^u$
【Step 2】外側を微分：$\dfrac{df}{du} = e^u$
【Step 3】内側を微分：$\dfrac{du}{dx} = 2$
【Step 4】連鎖律
$$f'(x) = e^u \cdot 2 = 2e^{2x}$$
(1) $f(x) = (x^2 + 1)^3$ の微分
【Step 1】内側を $u$ とおく
$u = x^2 + 1$ とおくと、$f = u^3$
【Step 2】外側を微分
$\dfrac{df}{du} = 3u^2$
【Step 3】内側を微分
$\dfrac{du}{dx} = 2x$
【Step 4】連鎖律でかけ算
$$f'(x) = 3u^2 \cdot 2x = 6xu^2$$
【Step 5】$u$ を元に戻す
$$f'(x) = 6x(x^2 + 1)^2$$
(2) $f(x) = e^{2x}$ の微分
【Step 1】$u = 2x$ とおくと、$f = e^u$
【Step 2】外側を微分：$\dfrac{df}{du} = e^u$
【Step 3】内側を微分：$\dfrac{du}{dx} = 2$
【Step 4】連鎖律
$$f'(x) = e^u \cdot 2 = 2e^{2x}$$
💡 統計学でよく使う連鎖律
正規分布の確率密度関数：
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
この関数の微分には連鎖律が必要！
$e$ の指数部分 $-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$ が「内側の関数」になります。
正規分布の確率密度関数：
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
この関数の微分には連鎖律が必要！
$e$ の指数部分 $-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$ が「内側の関数」になります。
4. 関数の増減と極値
4.1 増減表の作り方
$f'(x)$ の符号を調べることで、関数がどこで増加・減少するかがわかります。
📐 増減表を作る手順
- $f'(x)$ を計算する
- $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める
- それらの点で区間を分ける
- 各区間で $f'(x)$ の符号（+か−）を調べる
- 符号から増減を判定する
例題6：増減表と極値
問題：$f(x) = x^3 – 3x^2 + 2$ の増減と極値を調べなさい。
解答：
【Step 1】微分する
$$f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$$
【Step 2】$f'(x) = 0$ を解く
$$3x(x – 2) = 0$$ $x = 0$ または $x = 2$
【Step 3】増減表を作る
【Step 4】極値を計算
【Step 1】微分する
$$f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$$
【Step 2】$f'(x) = 0$ を解く
$$3x(x – 2) = 0$$ $x = 0$ または $x = 2$
【Step 3】増減表を作る
| $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ |
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
【Step 4】極値を計算
- 極大値：$f(0) = 0 – 0 + 2 = 2$（$x = 0$ で極大）
- 極小値：$f(2) = 8 – 12 + 2 = -2$（$x = 2$ で極小）
4.2 第二次導関数による極値判定
$f”(x)$（$f'(x)$ をもう一度微分したもの）を使うと、より簡単に極値を判定できます。
⭐ 第二次導関数による極値の判定
$f'(a) = 0$ のとき：
覚え方：
$f” > 0$ → 下に凸（∪型）→ 谷底 → 極小
$f” < 0$ → 上に凸（∩型）→ 山頂 → 極大
$f'(a) = 0$ のとき：
- $f”(a) > 0$ ならば、$x = a$ で極小（下に凸）
- $f”(a) < 0$ ならば、$x = a$ で極大（上に凸）
覚え方：
$f” > 0$ → 下に凸（∪型）→ 谷底 → 極小
$f” < 0$ → 上に凸（∩型）→ 山頂 → 極大
💡 統計学での応用：最尤推定
尤度関数 $L(\theta)$ を最大化するには：
尤度関数 $L(\theta)$ を最大化するには：
- $\dfrac{dL}{d\theta} = 0$ を解いて $\theta$ の候補を求める
- $\dfrac{d^2L}{d\theta^2} < 0$ を確認して、それが最大であることを検証
5. 積分とは何か？
5.1 積分の直感的な意味
積分は微分の逆の操作です。
💡 積分のイメージ
「速度がわかっているとき、どこまで進んだか」を求めるのが積分です。
別の見方：
グラフの下の面積を求めることが積分です。
- 微分：位置 → 速度（変化率を求める）
- 積分：速度 → 位置（変化率から元の量を復元）
「速度がわかっているとき、どこまで進んだか」を求めるのが積分です。
別の見方：
グラフの下の面積を求めることが積分です。
5.2 不定積分
微分すると $f(x)$ になる関数を、$f(x)$ の原始関数といいます。
⭐ 不定積分の定義
$F'(x) = f(x)$ のとき、$F(x)$ を $f(x)$ の原始関数といい：
$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$
$C$ は積分定数（任意の定数）
$F'(x) = f(x)$ のとき、$F(x)$ を $f(x)$ の原始関数といい：
$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$
$C$ は積分定数（任意の定数）
📖 なぜ $+C$ が必要？
例えば $f(x) = 2x$ の原始関数を考えると：
定数を足しても微分すると消えるので、答えに $+C$ をつけて「すべての可能性」を表します。
例えば $f(x) = 2x$ の原始関数を考えると：
- $x^2$ を微分すると $2x$
- $x^2 + 1$ を微分しても $2x$
- $x^2 + 100$ を微分しても $2x$
定数を足しても微分すると消えるので、答えに $+C$ をつけて「すべての可能性」を表します。
5.3 積分の基本公式
⭐ 積分の基本公式一覧
| 関数 $f(x)$ | 積分 $\int f(x)\,dx$ | 注意 |
| $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ | 絶対値に注意 |
| $e^x$ | $e^x + C$ | |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | マイナスに注意 |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
例題7：基本的な積分
問題：次の不定積分を求めなさい。
(1) $\displaystyle\int x^4\,dx$ (2) $\displaystyle\int(3x^2 – 2x + 1)\,dx$
解答：
(1) $\displaystyle\int x^4\,dx$
【Step 1】公式を確認
$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
【Step 2】$n = 4$ を代入
$$\int x^4\,dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$$
(2) $\displaystyle\int(3x^2 – 2x + 1)\,dx$
【Step 1】各項を別々に積分
$$\int(3x^2 – 2x + 1)\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} – 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$$
【Step 2】整理
$$= x^3 – x^2 + x + C$$
(1) $\displaystyle\int x^4\,dx$
【Step 1】公式を確認
$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
【Step 2】$n = 4$ を代入
$$\int x^4\,dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$$
(2) $\displaystyle\int(3x^2 – 2x + 1)\,dx$
【Step 1】各項を別々に積分
$$\int(3x^2 – 2x + 1)\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} – 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$$
【Step 2】整理
$$= x^3 – x^2 + x + C$$
5.4 定積分
定積分は、区間 $[a, b]$ での積分の値（数値）を計算します。
⭐ 定積分の計算
$F(x)$ が $f(x)$ の原始関数のとき：
$$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) – F(a)$$
読み方：「上端での値 − 下端での値」
$F(x)$ が $f(x)$ の原始関数のとき：
$$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) – F(a)$$
読み方：「上端での値 − 下端での値」
例題8：定積分の計算
問題：$\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx$ を計算しなさい。
解答：
【Step 1】原始関数を求める
$x^2$ の原始関数は $\dfrac{x^3}{3}$
【Step 2】上端と下端での値を計算
$$\int_1^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{3^3}{3} – \frac{1^3}{3}$$
【Step 3】計算する
$$= \frac{27}{3} – \frac{1}{3} = 9 – \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$
【Step 1】原始関数を求める
$x^2$ の原始関数は $\dfrac{x^3}{3}$
【Step 2】上端と下端での値を計算
$$\int_1^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{3^3}{3} – \frac{1^3}{3}$$
【Step 3】計算する
$$= \frac{27}{3} – \frac{1}{3} = 9 – \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$
📏 定積分と面積
定積分の幾何学的な意味は、曲線とx軸で囲まれた部分の面積です。
曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸、$x = a$、$x = b$ で囲まれた部分の面積：
$$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$$
注意：$f(x) < 0$ の部分は絶対値をつけて計算します。
定積分の幾何学的な意味は、曲線とx軸で囲まれた部分の面積です。
曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸、$x = a$、$x = b$ で囲まれた部分の面積：
$$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$$
注意：$f(x) < 0$ の部分は絶対値をつけて計算します。
6. 統計学への応用
6.1 最尤推定での微分
統計学では、尤度関数を最大化するパラメータを求めるために微分を使います。
🎯 最尤推定の基本的な考え方
- 尤度関数（または対数尤度関数）$L(\theta)$ を作る
- $L(\theta)$ を $\theta$ で微分する
- $\dfrac{dL}{d\theta} = 0$ を解いて、最大にする $\theta$ を求める
- $\dfrac{d^2L}{d\theta^2} < 0$ で最大であることを確認
例題9：最尤推定の基礎
問題：$f(\theta) = -(\theta – 3)^2 + 5$ を最大にする $\theta$ の値を求めなさい。
解答：
【Step 1】微分する
連鎖律を使います。$u = \theta – 3$ とおくと：
$$f'(\theta) = -2(\theta – 3) \cdot 1 = -2\theta + 6$$
【Step 2】$f'(\theta) = 0$ を解く
$$-2\theta + 6 = 0$$ $$\theta = 3$$
【Step 3】極大であることを確認
$f”(\theta) = -2 < 0$ なので、$\theta = 3$ で極大（最大）
答え：$\theta = 3$ で最大値 $f(3) = 5$ をとる
【Step 1】微分する
連鎖律を使います。$u = \theta – 3$ とおくと：
$$f'(\theta) = -2(\theta – 3) \cdot 1 = -2\theta + 6$$
【Step 2】$f'(\theta) = 0$ を解く
$$-2\theta + 6 = 0$$ $$\theta = 3$$
【Step 3】極大であることを確認
$f”(\theta) = -2 < 0$ なので、$\theta = 3$ で極大（最大）
答え：$\theta = 3$ で最大値 $f(3) = 5$ をとる
6.2 確率密度関数と積分
連続型確率分布では、確率密度関数 $f(x)$ を積分して確率を計算します。
⭐ 確率密度関数の性質
① 全確率は1：
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$$
② 区間の確率：
$$P(a ≦ X ≦ b) = \int_a^b f(x)\,dx$$
① 全確率は1：
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$$
② 区間の確率：
$$P(a ≦ X ≦ b) = \int_a^b f(x)\,dx$$
例題10：確率の計算
問題：確率密度関数 $f(x) = 2x$（$0 ≦ x ≦ 1$）について、$P(0.5 ≦ X ≦ 1)$ を求めなさい。
解答：
【Step 1】定積分を計算する
$$P(0.5 ≦ X ≦ 1) = \int_{0.5}^{1} 2x\,dx$$
【Step 2】原始関数を求める
$2x$ の原始関数は $x^2$
【Step 3】定積分を計算
$$= \Big[x^2\Big]_{0.5}^{1} = 1^2 – (0.5)^2 = 1 – 0.25 = 0.75$$
答え：$P(0.5 ≦ X ≦ 1) = 0.75$（75%の確率）
【Step 1】定積分を計算する
$$P(0.5 ≦ X ≦ 1) = \int_{0.5}^{1} 2x\,dx$$
【Step 2】原始関数を求める
$2x$ の原始関数は $x^2$
【Step 3】定積分を計算
$$= \Big[x^2\Big]_{0.5}^{1} = 1^2 – (0.5)^2 = 1 – 0.25 = 0.75$$
答え：$P(0.5 ≦ X ≦ 1) = 0.75$（75%の確率）
6.3 期待値の計算
連続型確率変数の期待値（平均）も積分で計算します。
⭐ 期待値の公式
$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\,dx$$
【意味】「$x$ の値」×「その確率密度」を全範囲で足し合わせたもの
$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\,dx$$
【意味】「$x$ の値」×「その確率密度」を全範囲で足し合わせたもの
例題11：期待値の計算
問題：確率密度関数 $f(x) = 2x$（$0 ≦ x ≦ 1$）について、期待値 $E[X]$ を求めなさい。
解答：
【Step 1】期待値の公式を使う
$$E[X] = \int_0^1 x \cdot 2x\,dx = \int_0^1 2x^2\,dx$$
【Step 2】積分を計算
$$= \left[\frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} – 0 = \frac{2}{3}$$
答え：$E[X] = \dfrac{2}{3}$
【Step 1】期待値の公式を使う
$$E[X] = \int_0^1 x \cdot 2x\,dx = \int_0^1 2x^2\,dx$$
【Step 2】積分を計算
$$= \left[\frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} – 0 = \frac{2}{3}$$
答え：$E[X] = \dfrac{2}{3}$
📝 練習問題
問題 1
べき乗の微分
$f(x) = x^6$ を微分しなさい。
解答：
公式 $(x^n)’ = nx^{n-1}$ で $n = 6$：
$$f'(x) = 6x^{6-1} = 6x^5$$
公式 $(x^n)’ = nx^{n-1}$ で $n = 6$：
$$f'(x) = 6x^{6-1} = 6x^5$$
問題 2
多項式の微分
$f(x) = 4x^3 – 6x^2 + 2x – 5$ を微分しなさい。
解答：
各項を別々に微分します：
各項を別々に微分します：
- $4x^3 \to 4 \times 3x^2 = 12x^2$
- $-6x^2 \to -6 \times 2x = -12x$
- $2x \to 2$
- $-5 \to 0$
問題 3
指数関数の微分
$f(x) = 3e^x$ を微分しなさい。
解答：
$(e^x)’ = e^x$ なので：
$$f'(x) = 3 \cdot e^x = 3e^x$$
$e^x$ は微分しても変わらない特別な関数です。
$(e^x)’ = e^x$ なので：
$$f'(x) = 3 \cdot e^x = 3e^x$$
$e^x$ は微分しても変わらない特別な関数です。
問題 4
対数関数の微分（連鎖律）
$f(x) = \ln(2x)$ を微分しなさい。
解答：
【Step 1】$u = 2x$ とおくと $f = \ln u$
【Step 2】連鎖律を適用
$$f'(x) = \frac{1}{u} \cdot (2x)’ = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$$
【Step 1】$u = 2x$ とおくと $f = \ln u$
【Step 2】連鎖律を適用
$$f'(x) = \frac{1}{u} \cdot (2x)’ = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$$
問題 5
積の微分
$f(x) = x^3 \cdot \ln x$ を微分しなさい。
解答：
積の微分公式 $(fg)’ = f’g + fg’$ を使います：
積の微分公式 $(fg)’ = f’g + fg’$ を使います：
- $f = x^3 \to f’ = 3x^2$
- $g = \ln x \to g’ = \dfrac{1}{x}$
問題 6
商の微分
$f(x) = \dfrac{x + 1}{x – 1}$ を微分しなさい。
解答：
商の微分公式 $\left(\dfrac{f}{g}\right)’ = \dfrac{f’g – fg’}{g^2}$ を使います：
商の微分公式 $\left(\dfrac{f}{g}\right)’ = \dfrac{f’g – fg’}{g^2}$ を使います：
- 分子：$f = x + 1 \to f’ = 1$
- 分母：$g = x – 1 \to g’ = 1$
問題 7
合成関数の微分
$f(x) = (2x + 3)^5$ を微分しなさい。
解答：
【Step 1】$u = 2x + 3$ とおくと $f = u^5$
【Step 2】連鎖律を適用
$$f'(x) = 5u^4 \cdot (2x + 3)’$$ $$= 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4$$
【Step 1】$u = 2x + 3$ とおくと $f = u^5$
【Step 2】連鎖律を適用
$$f'(x) = 5u^4 \cdot (2x + 3)’$$ $$= 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4$$
問題 8
極値問題
$f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$ の極値を求めなさい。
解答：
【Step 1】微分して $f'(x) = 0$ を解く
$$f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$$ $f'(x) = 0$ より $x = 1$ または $x = 3$
【Step 2】増減表で確認
$x < 1$：$f'(x) > 0$（増加）
$1 < x < 3$：$f'(x) < 0$（減少）
$x > 3$：$f'(x) > 0$（増加）
【Step 3】極値を計算
【Step 1】微分して $f'(x) = 0$ を解く
$$f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$$ $f'(x) = 0$ より $x = 1$ または $x = 3$
【Step 2】増減表で確認
$x < 1$：$f'(x) > 0$（増加）
$1 < x < 3$：$f'(x) < 0$（減少）
$x > 3$：$f'(x) > 0$（増加）
【Step 3】極値を計算
- 極大値：$f(1) = 1 – 6 + 9 + 1 = 5$（$x = 1$ で極大）
- 極小値：$f(3) = 27 – 54 + 27 + 1 = 1$（$x = 3$ で極小）
問題 9
べき乗の積分
$\displaystyle\int x^5\,dx$ を求めなさい。
解答：
公式 $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ より
$$\int x^5\,dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$$
公式 $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ より
$$\int x^5\,dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$$
問題 10
多項式の積分
$\displaystyle\int(2x^3 – 3x + 1)\,dx$ を求めなさい。
解答：
各項を別々に積分します：
$$\int(2x^3 – 3x + 1)\,dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} – 3 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$$ $$= \frac{x^4}{2} – \frac{3x^2}{2} + x + C$$
各項を別々に積分します：
$$\int(2x^3 – 3x + 1)\,dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} – 3 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$$ $$= \frac{x^4}{2} – \frac{3x^2}{2} + x + C$$
問題 11
定積分の計算
$\displaystyle\int_0^2(3x^2 + 2)\,dx$ を計算しなさい。
解答：
【Step 1】原始関数を求める
$3x^2 + 2$ の原始関数は $x^3 + 2x$
【Step 2】定積分を計算
$$\int_0^2(3x^2 + 2)\,dx = \Big[x^3 + 2x\Big]_0^2$$ $$= (2^3 + 2 \cdot 2) – (0 + 0) = 8 + 4 = 12$$
【Step 1】原始関数を求める
$3x^2 + 2$ の原始関数は $x^3 + 2x$
【Step 2】定積分を計算
$$\int_0^2(3x^2 + 2)\,dx = \Big[x^3 + 2x\Big]_0^2$$ $$= (2^3 + 2 \cdot 2) – (0 + 0) = 8 + 4 = 12$$
問題 12
面積の計算
$y = x^2$ と $x$ 軸、$x = 0$、$x = 3$ で囲まれた部分の面積を求めなさい。
解答：
$x^2 ≧ 0$（常に正）なので：
$$S = \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} – 0 = 9$$
$x^2 ≧ 0$（常に正）なので：
$$S = \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} – 0 = 9$$
問題 13
正規分布関連の微分
$f(x) = e^{-x^2/2}$ を微分しなさい。
解答：
【Step 1】$u = -\dfrac{x^2}{2}$ とおく
$\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{2x}{2} = -x$
【Step 2】連鎖律を適用
$$f'(x) = e^u \cdot (-x) = -x \cdot e^{-x^2/2}$$
これは正規分布の確率密度関数の微分です！
【Step 1】$u = -\dfrac{x^2}{2}$ とおく
$\dfrac{du}{dx} = -\dfrac{2x}{2} = -x$
【Step 2】連鎖律を適用
$$f'(x) = e^u \cdot (-x) = -x \cdot e^{-x^2/2}$$
これは正規分布の確率密度関数の微分です！
問題 14
確率密度関数の検証
$f(x) = 3x^2$（$0 ≦ x ≦ 1$）が確率密度関数であることを確認しなさい。
解答：
全区間で積分して $1$ になるか確認します：
$$\int_0^1 3x^2\,dx = \Big[x^3\Big]_0^1 = 1 – 0 = 1 \quad \checkmark$$
全区間での積分が $1$ なので、確率密度関数として成り立ちます。
全区間で積分して $1$ になるか確認します：
$$\int_0^1 3x^2\,dx = \Big[x^3\Big]_0^1 = 1 – 0 = 1 \quad \checkmark$$
全区間での積分が $1$ なので、確率密度関数として成り立ちます。
問題 15
期待値の計算
確率密度関数 $f(x) = 3x^2$（$0 ≦ x ≦ 1$）について、期待値 $E[X]$ を求めなさい。
解答：
【Step 1】期待値の公式を使う
$$E[X] = \int_0^1 x \cdot 3x^2\,dx = \int_0^1 3x^3\,dx$$
【Step 2】積分を計算
$$= \left[\frac{3x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{3}{4} – 0 = \frac{3}{4}$$
【Step 1】期待値の公式を使う
$$E[X] = \int_0^1 x \cdot 3x^2\,dx = \int_0^1 3x^3\,dx$$
【Step 2】積分を計算
$$= \left[\frac{3x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{3}{4} – 0 = \frac{3}{4}$$
問題 16
対数尤度関数の微分
$L(\theta) = n\ln\theta – \theta\sum x_i$ を $\theta$ で微分しなさい（$\sum x_i$ は定数）。
解答：
各項を微分します：
これはポアソン分布のパラメータを最尤推定するときに使います！
各項を微分します：
- $n\ln\theta \to n \cdot \dfrac{1}{\theta} = \dfrac{n}{\theta}$
- $\theta\sum x_i \to \sum x_i$（$\theta$ の1次式）
これはポアソン分布のパラメータを最尤推定するときに使います！
問題 17
閉区間での最大・最小
$0 ≦ x ≦ 3$ において、$f(x) = x^3 – 3x^2 + 2$ の最大値と最小値を求めなさい。
解答：
【Step 1】極値の候補を求める
$f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) = 0$ より $x = 0, 2$（両方とも区間内）
【Step 2】極値と端点の値を計算
答え：
【Step 1】極値の候補を求める
$f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) = 0$ より $x = 0, 2$（両方とも区間内）
【Step 2】極値と端点の値を計算
- $f(0) = 0 – 0 + 2 = 2$
- $f(2) = 8 – 12 + 2 = -2$
- $f(3) = 27 – 27 + 2 = 2$
答え：
- 最大値：$2$（$x = 0, 3$ で）
- 最小値：$-2$（$x = 2$ で）
問題 18
置換積分
$\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx$ を求めなさい。
解答：
【Step 1】$u = x^2$ とおく
$\dfrac{du}{dx} = 2x$ より $dx = \dfrac{du}{2x}$
【Step 2】積分を置換
$$\int xe^{x^2}\,dx = \int x \cdot e^u \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int e^u\,du$$
【Step 3】積分を実行
$$= \frac{1}{2}e^u + C$$
【Step 4】$u$ を元に戻す
$$= \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$
【Step 1】$u = x^2$ とおく
$\dfrac{du}{dx} = 2x$ より $dx = \dfrac{du}{2x}$
【Step 2】積分を置換
$$\int xe^{x^2}\,dx = \int x \cdot e^u \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int e^u\,du$$
【Step 3】積分を実行
$$= \frac{1}{2}e^u + C$$
【Step 4】$u$ を元に戻す
$$= \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$
問題 19
面積の計算（応用）
$y = 4 – x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。
解答：
【Step 1】$x$ 軸との交点を求める
$4 – x^2 = 0$ より $x = \pm 2$
【Step 2】面積を計算
区間 $[-2, 2]$ で $4 – x^2 ≧ 0$ なので：
$$S = \int_{-2}^{2}(4 – x^2)\,dx = \left[4x – \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}$$ $$= \left(8 – \frac{8}{3}\right) – \left(-8 + \frac{8}{3}\right)$$ $$= 8 – \frac{8}{3} + 8 – \frac{8}{3} = 16 – \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$$
【Step 1】$x$ 軸との交点を求める
$4 – x^2 = 0$ より $x = \pm 2$
【Step 2】面積を計算
区間 $[-2, 2]$ で $4 – x^2 ≧ 0$ なので：
$$S = \int_{-2}^{2}(4 – x^2)\,dx = \left[4x – \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}$$ $$= \left(8 – \frac{8}{3}\right) – \left(-8 + \frac{8}{3}\right)$$ $$= 8 – \frac{8}{3} + 8 – \frac{8}{3} = 16 – \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$$
問題 20
最尤推定の応用（正規分布）
対数尤度関数 $L(\mu) = -n\ln\sigma – \dfrac{1}{2\sigma^2}\sum(x_i – \mu)^2$ を最大にする $\mu$ を求めなさい（$\sigma$ は定数）。
解答：
【Step 1】$\mu$ で微分する
第1項は $\mu$ を含まないので微分すると $0$
第2項を微分：
$$\frac{dL}{d\mu} = -\frac{1}{2\sigma^2} \cdot \sum 2(x_i – \mu)(-1) = \frac{1}{\sigma^2}\sum(x_i – \mu)$$
【Step 2】$\dfrac{dL}{d\mu} = 0$ を解く
$$\frac{1}{\sigma^2}\sum(x_i – \mu) = 0$$ $$\sum x_i – n\mu = 0$$ $$\mu = \frac{1}{n}\sum x_i = \bar{x}$$
正規分布の平均の最尤推定量は標本平均 $\bar{x}$ です！
【Step 1】$\mu$ で微分する
第1項は $\mu$ を含まないので微分すると $0$
第2項を微分：
$$\frac{dL}{d\mu} = -\frac{1}{2\sigma^2} \cdot \sum 2(x_i – \mu)(-1) = \frac{1}{\sigma^2}\sum(x_i – \mu)$$
【Step 2】$\dfrac{dL}{d\mu} = 0$ を解く
$$\frac{1}{\sigma^2}\sum(x_i – \mu) = 0$$ $$\sum x_i – n\mu = 0$$ $$\mu = \frac{1}{n}\sum x_i = \bar{x}$$
正規分布の平均の最尤推定量は標本平均 $\bar{x}$ です！
📌 Step 2cのまとめ
- 微分の定義と意味を理解し、基本公式を使って様々な関数を微分できるようになった
- 積の微分、商の微分、合成関数の微分（連鎖律）を習得した
- 増減表を作成して、関数の極値を求められるようになった
- 不定積分と定積分の意味を理解し、計算できるようになった
- 微分・積分が統計学（最尤推定、確率密度関数、期待値）でどう使われるかを理解した
学習メモ
統計検定準1級対策 - Step 2
📋 過去のメモ一覧
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