Step 11: 実験計画法の発展

効率的な実験設計の理論と実践を学び、直交配列表の基礎を習得します

📚 このステップで学ぶこと

このステップでは、系統的な実験設計の手法を学びます。無作為化、ブロック化、要因実験、直交配列表など、効率的に多くの要因を調べる技術を習得し、実験の精度を高める方法を理解します。

🎯 なぜ実験計画法を学ぶのか？

効率性：最小のコストと時間で最大の情報を得る
精度：誤差を小さく、検出力を高める
妥当性：バイアスのない結論を導く
再現性：結果の信頼性を確保する

1. 実験計画法の基本原則

1.1 実験計画の3原則

        📖 Fisher の3原則

        ① 反復（Replication）

        同じ条件で複数回実験を行う

        ・誤差の推定が可能

        ・推定の精度向上

        ・再現性の確認

        ② 無作為化（Randomization）

        処理の割り当てや実験順序をランダムに決める

        ・系統的バイアスの除去

        ・未知の交絡因子の影響を平均化

        ・統計的推測の妥当性を保証

        ③ 局所管理（Local Control）

        実験環境の均一化、ブロック化

        ・既知の変動源を制御

        ・実験誤差の低減

        ・検出力の向上

1.2 実験計画の目的

📐 実験計画法の目的

① 効率性：最小のコストと時間で最大の情報
② 精度：誤差を小さく、検出力を高く
③ 妥当性：バイアスのない結論
④ 汎用性：結果の一般化可能性

悪い実験の例：
・無作為化なし → バイアス
・反復なし → 誤差推定不可
・交絡因子の制御なし → 原因不明

2. 完全無作為化計画

2.1 CRD（Completely Randomized Design）

⭐ 完全無作為化計画

すべての実験単位に処理を完全にランダムに割り当てる

特徴：
・最もシンプルな実験計画
・一元配置ANOVAで分析
・実験環境が均一な場合に適している

モデル：
$$y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}$$
$\tau_i$：$i$ 番目の処理効果
$\varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$：誤差項

利点：設計が簡単、自由度が大きい
欠点：実験環境の不均一性を制御できない

例題1：CRDの設計

問題：4種類の肥料（A, B, C, D）の効果を比較したい。各肥料を3回ずつ試験する場合、12個のプロットへの割り当て方を説明せよ。

解答：

【手順】
① 12個のプロットに番号を付ける（1-12）
② 乱数表または乱数生成で12個の番号をランダムに並べる
③ 最初の3つにA、次の3つにB、次の3つにC、最後の3つにDを割り当てる

【例】
乱数順序：7, 3, 11, 5, 2, 9, 12, 1, 4, 6, 10, 8

肥料Aを割り当て：プロット7, 3, 11
肥料Bを割り当て：プロット5, 2, 9
肥料Cを割り当て：プロット12, 1, 4
肥料Dを割り当て：プロット6, 10, 8

完全にランダムなので、位置的な偏りがない

3. 乱塊法（ランダム化ブロック計画）

3.1 RCBD（Randomized Complete Block Design）

        📖 乱塊法

        実験単位をブロック（均質な群）に分け、各ブロック内で処理をランダムに割り当てる

        モデル：

        $$y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$$

        $\tau_i$：$i$ 番目の処理効果

        $\beta_j$：$j$ 番目のブロック効果

        $\varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$：誤差項

        平方和の分解：

        $$S_T = S_A + S_B + S_E$$

        $S_A$：処理間平方和

        $S_B$：ブロック間平方和

        $S_E$：残差平方和

        利点：ブロック因子の影響を除去し、検出力向上

        使用場面：場所、時間、個体差などの既知の変動源がある

例題2：RCBDの分析

問題：3種類の飼料（処理）を4つの牧場（ブロック）で試験。
$S_A=60$, $S_B=40$, $S_T=120$。分散分析表を作成し、F検定を行え。（$F_{2,6}(0.05)=5.14$, $F_{3,6}(0.05)=4.76$）

解答：

$a = 3$（処理）, $b = 4$（ブロック）

【平方和】
$$S_E = S_T – S_A – S_B = 120 – 60 – 40 = 20$$
【自由度】
$\phi_A = a – 1 = 2$
$\phi_B = b – 1 = 3$
$\phi_E = (a-1)(b-1) = 6$

【平均平方】
$V_A = 60/2 = 30$
$V_B = 40/3 \approx 13.33$
$V_E = 20/6 \approx 3.33$

【F統計量】
$F_A = 30/3.33 \approx 9.0 > 5.14$ → 処理効果は有意
$F_B = 13.33/3.33 \approx 4.0 < 4.76$ → ブロック効果は非有意

要因	SS	df	MS	F
処理	60	2	30.0	9.0*
ブロック	40	3	13.33	4.0
誤差	20	6	3.33
総和	120	11

4. ラテン方格法

4.1 Latin Square Design

⭐ ラテン方格法

2つのブロック因子を同時に制御する実験計画

構造：
$n \times n$ の正方形に、$n$ 種類の処理をラテン方格状に配置
各処理は各行・各列に1回ずつ出現

例（$4 \times 4$）：

	列1	列2	列3	列4
行1	A	B	C	D
行2	B	C	D	A
行3	C	D	A	B
行4	D	A	B	C

モデル：
$$y_{ijk} = \mu + \tau_i + \rho_j + \gamma_k + \varepsilon_{ijk}$$
$\tau_i$：処理効果
$\rho_j$：行効果
$\gamma_k$：列効果

例題3：ラテン方格の設計

問題：3種類の洗剤（A, B, C）を3人の洗濯者と3日間で評価する。ラテン方格を1つ作成せよ。

解答：

	月曜	火曜	水曜
洗濯者1	A	B	C
洗濯者2	B	C	A
洗濯者3	C	A	B

【確認】
・各洗剤は各洗濯者に1回ずつ ✓
・各洗剤は各曜日に1回ずつ ✓

【利点】
・洗濯者の差（個人差）を制御
・曜日の差（時間的変動）を制御
・9回の実験で3要因を調査

5. 要因実験

5.1 2要因実験

        📖 要因実験（Factorial Experiment）

        複数の要因を組み合わせて同時に調査

        2要因実験（$a \times b$）：

        ・要因A：$a$ 水準

        ・要因B：$b$ 水準

        ・組み合わせ：$a \times b$ 通り

        モデル（繰り返しあり）：

        $$y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk}$$

        $(\alpha\beta)_{ij}$：交互作用効果

        平方和の分解：

        $$S_T = S_A + S_B + S_{AB} + S_E$$

        利点：

        ・主効果と交互作用を同時に調査

        ・一要因ずつより効率的

        ・交互作用の検出が可能

例題4：$2^2$ 要因実験

問題：温度（高/低）と圧力（高/低）の2要因実験。各条件で2回測定。
データ：（温度低,圧力低）：10,12　（温度低,圧力高）：15,17
　　　　（温度高,圧力低）：20,22　（温度高,圧力高）：18,20
主効果と交互作用を計算せよ。

解答：

【各セルの平均】
（低,低）：$(10+12)/2 = 11$
（低,高）：$(15+17)/2 = 16$
（高,低）：$(20+22)/2 = 21$
（高,高）：$(18+20)/2 = 19$

【温度の主効果】
高温の平均：$(21+19)/2 = 20$
低温の平均：$(11+16)/2 = 13.5$
温度効果 $= 20 – 13.5 = 6.5$

【圧力の主効果】
高圧の平均：$(16+19)/2 = 17.5$
低圧の平均：$(11+21)/2 = 16$
圧力効果 $= 17.5 – 16 = 1.5$

【交互作用の確認】
低温での圧力効果：$16 – 11 = 5$
高温での圧力効果：$19 – 21 = -2$
交互作用あり！（効果が逆転）

低温では圧力を上げると増加するが、
高温では圧力を上げると減少する

6. 直交配列表

6.1 直交配列表の基礎

⭐ 直交配列表（Orthogonal Array）

多数の要因を少ない実験回数で効率的に調査する手法
（田口メソッド、タグチメソッド）

表記：$L_8(2^7)$
・$L$：ラテン方格
・8：実験回数
・2：各要因の水準数
・7：調査可能な要因数

特徴：
・各要因の各水準が等回数出現
・任意の2列の組み合わせがバランス
・要因間の交絡を最小化

利点：
完全実施計画：$2^7 = 128$ 回
直交配列表：8回（94%削減！）

6.2 $L_8$ 直交配列表

        📖 $L_8(2^7)$ 直交配列表
        
            
                実験No.
                A
                B
                C
                D
                E
                F
                G
            

                1
                1
                1
                1
                1
                1
                1
                1
            

                2
                1
                1
                1
                2
                2
                2
                2
            

                3
                1
                2
                2
                1
                1
                2
                2
            

                4
                1
                2
                2
                2
                2
                1
                1
            

                5
                2
                1
                2
                1
                2
                1
                2
            

                6
                2
                1
                2
                2
                1
                2
                1
            

                7
                2
                2
                1
                1
                2
                2
                1
            

                8
                2
                2
                1
                2
                1
                1
                2
            

        
        1：低水準, 2：高水準
    

例題5：直交配列表の使用

問題：4つの要因（温度、圧力、時間、触媒）を2水準ずつ調査したい。完全実施計画では何回必要か？$L_8$ を使うと何回か？

解答：

【完全実施計画】
$2^4 = 16$ 回
（すべての組み合わせを試す）

【$L_8$ 直交配列表】
8回（50%削減）

【割り付け例】
A列：温度
B列：圧力
C列：時間
D列：触媒
（残りのE, F, G列は使用しない）

【分析】
各要因の水準1の平均と水準2の平均を比較し、
どの要因が大きな効果を持つかを判定。

📝 練習問題（15問）

問題 1

Fisherの3原則

実験計画法の3原則を挙げよ。

解答：

① 反復（Replication）
② 無作為化（Randomization）
③ 局所管理（Local Control）

問題 2

CRDとRCBD

完全無作為化計画と乱塊法の主な違いは何か？

解答：

CRD：ブロック因子なし、完全にランダム
RCBD：ブロック因子あり、ブロック内でランダム化

RCBDは既知の変動源（ブロック）を制御できる。

問題 3

ラテン方格の条件

ラテン方格が満たすべき条件は？

解答：

各処理が各行に1回ずつ、
各処理が各列に1回ずつ出現する。

問題 4

ブロック因子の数

ラテン方格法では何個のブロック因子を制御できるか？

解答：

2個（行と列）

問題 5

要因実験の利点

一要因ずつ実験するのと比べた、要因実験の利点を2つ挙げよ。

解答：

① 実験回数が少なくて済む（効率的）
② 交互作用を検出できる

問題 6

$2^3$ 要因実験

3つの要因を各2水準で調査する完全実施計画の実験回数は？

解答：

$2^3 = 8$ 回

問題 7

直交配列表の記号

$L_{16}(2^{15})$ の意味を説明せよ。

解答：

16回の実験で、
2水準の要因を15個まで調査可能な直交配列表。

問題 8

交互作用の意味

交互作用が有意とは、どういう状況か？

解答：

一方の要因の効果が、
他方の要因の水準によって異なる。

問題 9

ブロック化の効果

ブロック化により、何が小さくなるか？

解答：

残差平方和（誤差）が小さくなる。
その分、検出力が向上する。

問題 10

無作為化の目的

無作為化の主な目的は？

解答：

系統的バイアスを除去し、
未知の交絡因子の影響を平均化する。

問題 11

RCBDの自由度

$a=4$ 処理、$b=5$ ブロックのRCBDで、誤差の自由度は？

解答：

$$\phi_E = (a-1)(b-1) = 3 \times 4 = 12$$

問題 12

ラテン方格の大きさ

5種類の処理を比較するラテン方格の大きさは？

解答：

$5 \times 5$（合計25個の実験単位）

問題 13

主効果と交互作用

交互作用が有意な場合、主効果の解釈はどうすべきか？

解答：

単純に主効果だけで解釈せず、
交互作用を考慮した解釈が必要。
（単純主効果の検定など）

問題 14

直交性

直交配列表で「直交」とは何を意味するか？

解答：

任意の2列（要因）の組み合わせが
均等にバランスしている。
（要因間の相関がゼロ）

問題 15

実験計画の選択

場所による違いが大きいと予想される場合、どの実験計画を使うべきか？

解答：

乱塊法（RCBD）を使い、
場所をブロック因子として制御する。

📌 Step 11のまとめ

実験計画法の3原則（反復・無作為化・局所管理）を理解した
完全無作為化計画（CRD）の設計と分析ができるようになった
乱塊法（RCBD）によるブロック化の効果を理解した
ラテン方格法で2つのブロック因子を制御できるようになった
要因実験の考え方と交互作用の解釈を習得した
直交配列表の基礎を理解した

次のStep 12では、ベイズ統計と多変量解析を学びます！

📝

学習メモ

統計検定準1級対策 - Step 11

📋 過去のメモ一覧 ▼

実験No.	A	B	C	D	E	F	G
1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	2	2	2	2
3	1	2	2	1	1	2	2
4	1	2	2	2	2	1	1
5	2	1	2	1	2	1	2
6	2	1	2	2	1	2	1
7	2	2	1	1	2	2	1
8	2	2	1	2	1	1	2