Step 14: 時系列解析入門
時間的に依存するデータの特性を理解し、ARMAモデルの基礎を習得します
📚 このステップで学ぶこと
このステップでは、時系列データの基本概念を学びます。定常性、自己相関、ARモデル、MAモデル、ARMAモデルの構造を理解し、時系列データの特性を把握する方法を習得します。
🎯 なぜ時系列解析を学ぶのか？
- 実務の必須スキル：売上予測、需要予測、在庫管理に不可欠
- 金融分野：株価、為替、リスク管理の基盤
- 科学分野：気象予測、地震予知、疫学分析に応用
- データの特殊性：時間依存データは通常の統計手法が使えない
1. 時系列データの基礎
1.1 時系列データとは
📖 時系列データ（Time Series Data）
時間順に観測されたデータの系列
表記：
$\{X_1, X_2, X_3, \ldots, X_t, \ldots\}$
または $\{X_t\}_{t=1}^{n}$
特徴：
・時間的順序が重要
・隣接する観測値に依存関係
・独立同分布（i.i.d.）の仮定が成り立たない
例：
・株価の日次データ
・気温の月次データ
・売上の年次データ
・心拍数の秒次データ
時間順に観測されたデータの系列
表記：
$\{X_1, X_2, X_3, \ldots, X_t, \ldots\}$
または $\{X_t\}_{t=1}^{n}$
特徴：
・時間的順序が重要
・隣接する観測値に依存関係
・独立同分布（i.i.d.）の仮定が成り立たない
例：
・株価の日次データ
・気温の月次データ
・売上の年次データ
・心拍数の秒次データ
1.2 時系列の成分分解
⭐ 古典的成分分解
加法モデル：
$$X_t = T_t + S_t + I_t$$
乗法モデル：
$$X_t = T_t \times S_t \times I_t$$
成分：
・$T_t$：トレンド（長期的傾向）
・$S_t$：季節変動（周期的パターン）
・$I_t$：不規則変動（ランダムな変動）
選択：
変動の振幅が一定 → 加法
変動の振幅がレベルに比例 → 乗法
加法モデル：
$$X_t = T_t + S_t + I_t$$
乗法モデル：
$$X_t = T_t \times S_t \times I_t$$
成分：
・$T_t$：トレンド（長期的傾向）
・$S_t$：季節変動（周期的パターン）
・$I_t$：不規則変動（ランダムな変動）
選択：
変動の振幅が一定 → 加法
変動の振幅がレベルに比例 → 乗法
例題1：成分の識別
問題：次の時系列の主な特徴を述べよ。
月次売上：1月=100, 7月=150, 1月=110, 7月=165, 1月=120, 7月=180
解答：
【観察】
・1月のデータ：100 → 110 → 120（増加）
・7月のデータ：150 → 165 → 180（増加）
・7月は1月の約1.5倍
【成分】
① トレンド：上昇傾向あり
各年で約10増加
② 季節変動：あり
夏（7月）が冬（1月）より高い
約50%増
【適切なモデル】
乗法モデル
（変動の振幅がレベルに比例）
【観察】
・1月のデータ：100 → 110 → 120（増加）
・7月のデータ：150 → 165 → 180（増加）
・7月は1月の約1.5倍
【成分】
① トレンド：上昇傾向あり
各年で約10増加
② 季節変動：あり
夏（7月）が冬（1月）より高い
約50%増
【適切なモデル】
乗法モデル
（変動の振幅がレベルに比例）
2. 定常性
2.1 定常過程
📖 定常性（Stationarity）
強定常（Strict Stationarity）
任意の時点での同時分布が時間に依存しない
弱定常（Weak Stationarity）
次の3条件を満たす：
① 平均が一定
$E[X_t] = \mu$（すべての $t$）
② 分散が一定
$\text{Var}(X_t) = \sigma^2$（すべての $t$）
③ 自己共分散が時差のみに依存
$\text{Cov}(X_t, X_{t+h}) = \gamma(h)$（$t$ に依存しない）
実務：通常は弱定常性を「定常性」と呼ぶ
強定常（Strict Stationarity）
任意の時点での同時分布が時間に依存しない
弱定常（Weak Stationarity）
次の3条件を満たす：
① 平均が一定
$E[X_t] = \mu$（すべての $t$）
② 分散が一定
$\text{Var}(X_t) = \sigma^2$（すべての $t$）
③ 自己共分散が時差のみに依存
$\text{Cov}(X_t, X_{t+h}) = \gamma(h)$（$t$ に依存しない）
実務：通常は弱定常性を「定常性」と呼ぶ
2.2 非定常性とその対処
⚠️ 非定常時系列の問題
非定常の例：
・トレンドがある
・分散が時間とともに変化
・季節性がある
定常化の方法：
① 差分
$\nabla X_t = X_t – X_{t-1}$（1次差分）
$\nabla^2 X_t = \nabla X_t – \nabla X_{t-1}$（2次差分）
→ トレンド除去
② 対数変換
$Y_t = \log(X_t)$
→ 分散安定化
③ 季節差分
$\nabla_s X_t = X_t – X_{t-s}$
→ 季節変動除去
④ トレンド除去
移動平均、回帰による除去
非定常の例：
・トレンドがある
・分散が時間とともに変化
・季節性がある
定常化の方法：
① 差分
$\nabla X_t = X_t – X_{t-1}$（1次差分）
$\nabla^2 X_t = \nabla X_t – \nabla X_{t-1}$（2次差分）
→ トレンド除去
② 対数変換
$Y_t = \log(X_t)$
→ 分散安定化
③ 季節差分
$\nabla_s X_t = X_t – X_{t-s}$
→ 季節変動除去
④ トレンド除去
移動平均、回帰による除去
例題2：差分の計算
問題：時系列 $\{10, 12, 15, 19, 24\}$ の1次差分を求めよ。
解答：
【1次差分】
$\nabla X_t = X_t – X_{t-1}$
$\nabla X_2 = 12 – 10 = 2$
$\nabla X_3 = 15 – 12 = 3$
$\nabla X_4 = 19 – 15 = 4$
$\nabla X_5 = 24 – 19 = 5$
【差分系列】
$\{2, 3, 4, 5\}$
【解釈】
元の系列：上昇トレンドあり
差分系列：さらに増加傾向（加速している）
2次差分を取ると：
$\nabla^2 X_3 = 3 – 2 = 1$
$\nabla^2 X_4 = 4 – 3 = 1$
$\nabla^2 X_5 = 5 – 4 = 1$
→ 定常化！
【1次差分】
$\nabla X_t = X_t – X_{t-1}$
$\nabla X_2 = 12 – 10 = 2$
$\nabla X_3 = 15 – 12 = 3$
$\nabla X_4 = 19 – 15 = 4$
$\nabla X_5 = 24 – 19 = 5$
【差分系列】
$\{2, 3, 4, 5\}$
【解釈】
元の系列：上昇トレンドあり
差分系列：さらに増加傾向（加速している）
2次差分を取ると：
$\nabla^2 X_3 = 3 – 2 = 1$
$\nabla^2 X_4 = 4 – 3 = 1$
$\nabla^2 X_5 = 5 – 4 = 1$
→ 定常化！
3. 自己相関と偏自己相関
3.1 自己共分散と自己相関
⭐ 自己共分散関数（ACVF）
$$\gamma(h) = \text{Cov}(X_t, X_{t+h})$$
$h$：ラグ（lag, 時差）
性質：
・$\gamma(0) = \text{Var}(X_t)$
・$\gamma(h) = \gamma(-h)$（対称性）
・$|\gamma(h)| ≦ \gamma(0)$
自己相関関数（ACF）
$$\rho(h) = \frac{\gamma(h)}{\gamma(0)} = \text{Cor}(X_t, X_{t+h})$$
性質：
・$\rho(0) = 1$
・$-1 ≦ \rho(h) ≦ 1$
・$\rho(h) = \rho(-h)$
標本ACF：
$$r(h) = \frac{\sum_{t=1}^{n-h}(X_t – \bar{X})(X_{t+h} – \bar{X})}{\sum_{t=1}^{n}(X_t – \bar{X})^2}$$
$$\gamma(h) = \text{Cov}(X_t, X_{t+h})$$
$h$：ラグ（lag, 時差）
性質：
・$\gamma(0) = \text{Var}(X_t)$
・$\gamma(h) = \gamma(-h)$（対称性）
・$|\gamma(h)| ≦ \gamma(0)$
自己相関関数（ACF）
$$\rho(h) = \frac{\gamma(h)}{\gamma(0)} = \text{Cor}(X_t, X_{t+h})$$
性質：
・$\rho(0) = 1$
・$-1 ≦ \rho(h) ≦ 1$
・$\rho(h) = \rho(-h)$
標本ACF：
$$r(h) = \frac{\sum_{t=1}^{n-h}(X_t – \bar{X})(X_{t+h} – \bar{X})}{\sum_{t=1}^{n}(X_t – \bar{X})^2}$$
3.2 偏自己相関
📖 偏自己相関関数（PACF）
中間のラグの影響を除いた相関
定義：
$$\phi_{hh} = \text{Cor}(X_t, X_{t+h} | X_{t+1}, \ldots, X_{t+h-1})$$
$X_{t+1}, \ldots, X_{t+h-1}$ を条件とした
$X_t$ と $X_{t+h}$ の相関
解釈：
・直接的な関係の強さ
・間接的な影響を除外
計算：
Yule-Walker方程式を解く
または回帰により推定
中間のラグの影響を除いた相関
定義：
$$\phi_{hh} = \text{Cor}(X_t, X_{t+h} | X_{t+1}, \ldots, X_{t+h-1})$$
$X_{t+1}, \ldots, X_{t+h-1}$ を条件とした
$X_t$ と $X_{t+h}$ の相関
解釈：
・直接的な関係の強さ
・間接的な影響を除外
計算：
Yule-Walker方程式を解く
または回帰により推定
例題3：ACFの計算
問題：時系列 $\{1, 2, 3, 2, 1\}$ のラグ1のACFを求めよ。
解答：
【平均】
$\bar{X} = (1+2+3+2+1)/5 = 1.8$
【偏差】
$x_1 – \bar{X} = -0.8$
$x_2 – \bar{X} = 0.2$
$x_3 – \bar{X} = 1.2$
$x_4 – \bar{X} = 0.2$
$x_5 – \bar{X} = -0.8$
【分子（ラグ1のペア）】
$(-0.8)(0.2) + (0.2)(1.2) + (1.2)(0.2) + (0.2)(-0.8)$
$= -0.16 + 0.24 + 0.24 – 0.16 = 0.16$
【分母】
$(-0.8)^2 + (0.2)^2 + (1.2)^2 + (0.2)^2 + (-0.8)^2$
$= 0.64 + 0.04 + 1.44 + 0.04 + 0.64 = 2.8$
【ACF(1)】
$$r(1) = \frac{0.16}{2.8} \approx 0.057$$
ラグ1の相関は非常に弱い
【平均】
$\bar{X} = (1+2+3+2+1)/5 = 1.8$
【偏差】
$x_1 – \bar{X} = -0.8$
$x_2 – \bar{X} = 0.2$
$x_3 – \bar{X} = 1.2$
$x_4 – \bar{X} = 0.2$
$x_5 – \bar{X} = -0.8$
【分子（ラグ1のペア）】
$(-0.8)(0.2) + (0.2)(1.2) + (1.2)(0.2) + (0.2)(-0.8)$
$= -0.16 + 0.24 + 0.24 – 0.16 = 0.16$
【分母】
$(-0.8)^2 + (0.2)^2 + (1.2)^2 + (0.2)^2 + (-0.8)^2$
$= 0.64 + 0.04 + 1.44 + 0.04 + 0.64 = 2.8$
【ACF(1)】
$$r(1) = \frac{0.16}{2.8} \approx 0.057$$
ラグ1の相関は非常に弱い
4. ARモデル
4.1 自己回帰モデル
📖 AR($p$)モデル
Auto-Regressive model of order $p$
定義：
$$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t$$
$\phi_i$：AR係数
$\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$：ホワイトノイズ
定常条件：
特性方程式の根が単位円の外側
$1 – \phi_1 z – \phi_2 z^2 – \cdots – \phi_p z^p = 0$
AR(1)の特別な場合：
$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$$ 定常条件：$|\phi| < 1$
Auto-Regressive model of order $p$
定義：
$$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t$$
$\phi_i$：AR係数
$\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$：ホワイトノイズ
定常条件：
特性方程式の根が単位円の外側
$1 – \phi_1 z – \phi_2 z^2 – \cdots – \phi_p z^p = 0$
AR(1)の特別な場合：
$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$$ 定常条件：$|\phi| < 1$
4.2 AR(1)の性質
⭐ AR(1)：$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$
平均：
$E[X_t] = 0$（平均0に中心化）
分散：
$$\text{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{1 – \phi^2}$$
ACF：
$$\rho(h) = \phi^h$$ ・指数的減衰
・$\phi > 0$：正の相関が減衰
・$\phi < 0$：符号が交互に変わる
PACF：
$\phi_{11} = \phi$
$\phi_{hh} = 0$（$h ≧ 2$）
・ラグ1でカットオフ
平均：
$E[X_t] = 0$（平均0に中心化）
分散：
$$\text{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{1 – \phi^2}$$
ACF：
$$\rho(h) = \phi^h$$ ・指数的減衰
・$\phi > 0$：正の相関が減衰
・$\phi < 0$：符号が交互に変わる
PACF：
$\phi_{11} = \phi$
$\phi_{hh} = 0$（$h ≧ 2$）
・ラグ1でカットオフ
例題4：AR(1)の分散
問題：AR(1)モデル $X_t = 0.6 X_{t-1} + \varepsilon_t$ で、$\sigma^2 = 4$。$\text{Var}(X_t)$ を求めよ。
解答：
【パラメータ】
$\phi = 0.6$
$\sigma^2 = 4$
【定常条件の確認】
$|\phi| = 0.6 < 1$ ✓
定常である
【分散の公式】
$$\text{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{1 – \phi^2} = \frac{4}{1 – 0.6^2} = \frac{4}{1 – 0.36} = \frac{4}{0.64} = 6.25$$
【ACF】
$\rho(1) = 0.6$
$\rho(2) = 0.6^2 = 0.36$
$\rho(3) = 0.6^3 = 0.216$
⋮
指数的に減衰
【パラメータ】
$\phi = 0.6$
$\sigma^2 = 4$
【定常条件の確認】
$|\phi| = 0.6 < 1$ ✓
定常である
【分散の公式】
$$\text{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{1 – \phi^2} = \frac{4}{1 – 0.6^2} = \frac{4}{1 – 0.36} = \frac{4}{0.64} = 6.25$$
【ACF】
$\rho(1) = 0.6$
$\rho(2) = 0.6^2 = 0.36$
$\rho(3) = 0.6^3 = 0.216$
⋮
指数的に減衰
5. MAモデル
5.1 移動平均モデル
📖 MA($q$)モデル
Moving Average model of order $q$
定義：
$$X_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q}$$
$\theta_i$：MA係数
$\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$：ホワイトノイズ
特徴：
・常に定常
・過去のショックの加重和
・反転可能性の条件あり
MA(1)の特別な場合：
$$X_t = \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$$ 反転可能条件：$|\theta| < 1$
Moving Average model of order $q$
定義：
$$X_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q}$$
$\theta_i$：MA係数
$\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$：ホワイトノイズ
特徴：
・常に定常
・過去のショックの加重和
・反転可能性の条件あり
MA(1)の特別な場合：
$$X_t = \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$$ 反転可能条件：$|\theta| < 1$
5.2 MA(1)の性質
⭐ MA(1)：$X_t = \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$
平均：
$E[X_t] = 0$
分散：
$$\text{Var}(X_t) = (1 + \theta^2)\sigma^2$$
ACF：
$$\rho(1) = \frac{\theta}{1 + \theta^2}$$ $\rho(h) = 0$（$h ≧ 2$）
・ラグ1でカットオフ
PACF：
$$\phi_{hh} = \frac{(-\theta)^h (1 – \theta^2)}{1 – \theta^{2(h+1)}}$$ ・指数的減衰
平均：
$E[X_t] = 0$
分散：
$$\text{Var}(X_t) = (1 + \theta^2)\sigma^2$$
ACF：
$$\rho(1) = \frac{\theta}{1 + \theta^2}$$ $\rho(h) = 0$（$h ≧ 2$）
・ラグ1でカットオフ
PACF：
$$\phi_{hh} = \frac{(-\theta)^h (1 – \theta^2)}{1 – \theta^{2(h+1)}}$$ ・指数的減衰
例題5：MA(1)のACF
問題：MA(1)モデル $X_t = \varepsilon_t + 0.8\varepsilon_{t-1}$ で、$\sigma^2 = 1$。$\rho(1)$ と $\text{Var}(X_t)$ を求めよ。
解答：
【パラメータ】
$\theta = 0.8$
$\sigma^2 = 1$
【分散】
$$\text{Var}(X_t) = (1 + \theta^2)\sigma^2 = (1 + 0.8^2) \times 1 = 1 + 0.64 = 1.64$$
【ラグ1のACF】
$$\rho(1) = \frac{\theta}{1 + \theta^2} = \frac{0.8}{1 + 0.64} = \frac{0.8}{1.64} \approx 0.488$$
【他のラグ】
$\rho(2) = 0$
$\rho(3) = 0$
⋮
ラグ1より大きいラグではすべて0
MA(1)の特徴的パターン！
【パラメータ】
$\theta = 0.8$
$\sigma^2 = 1$
【分散】
$$\text{Var}(X_t) = (1 + \theta^2)\sigma^2 = (1 + 0.8^2) \times 1 = 1 + 0.64 = 1.64$$
【ラグ1のACF】
$$\rho(1) = \frac{\theta}{1 + \theta^2} = \frac{0.8}{1 + 0.64} = \frac{0.8}{1.64} \approx 0.488$$
【他のラグ】
$\rho(2) = 0$
$\rho(3) = 0$
⋮
ラグ1より大きいラグではすべて0
MA(1)の特徴的パターン！
6. ARMAモデル
6.1 ARMAモデルの定義
📖 ARMA($p,q$)モデル
ARとMAの組み合わせ
定義：
$$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q}$$
後退作用素表記：
$$\phi(B)X_t = \theta(B)\varepsilon_t$$
$\phi(B) = 1 – \phi_1 B – \cdots – \phi_p B^p$
$\theta(B) = 1 + \theta_1 B + \cdots + \theta_q B^q$
$B$：後退作用素（$BX_t = X_{t-1}$）
定常条件：$\phi(z) = 0$ の根が単位円外
反転可能条件：$\theta(z) = 0$ の根が単位円外
ARとMAの組み合わせ
定義：
$$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \cdots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q}$$
後退作用素表記：
$$\phi(B)X_t = \theta(B)\varepsilon_t$$
$\phi(B) = 1 – \phi_1 B – \cdots – \phi_p B^p$
$\theta(B) = 1 + \theta_1 B + \cdots + \theta_q B^q$
$B$：後退作用素（$BX_t = X_{t-1}$）
定常条件：$\phi(z) = 0$ の根が単位円外
反転可能条件：$\theta(z) = 0$ の根が単位円外
6.2 モデルの識別
⭐ ACFとPACFによるモデル識別
カットオフ：ある時点から0になる
減衰：徐々に0に近づく
モデル選択：
・AIC, BICを比較
・残差の検定
・予測精度
| モデル | ACF | PACF |
| AR($p$) | 指数的減衰 | ラグ $p$ でカットオフ |
| MA($q$) | ラグ $q$ でカットオフ | 指数的減衰 |
| ARMA($p,q$) | 指数的減衰 | 指数的減衰 |
減衰：徐々に0に近づく
モデル選択：
・AIC, BICを比較
・残差の検定
・予測精度
6.3 情報量規準
📐 モデル選択規準
AIC（赤池情報量規準）：
$$AIC = -2\ell + 2k$$
BIC（ベイズ情報量規準）：
$$BIC = -2\ell + k \log(n)$$
$\ell$：最大対数尤度
$k$：パラメータ数
$n$：データ数
選択：
AIC/BICが最小のモデル
違い：
BICはAICより大きなペナルティ
→ より単純なモデルを選びやすい
AIC（赤池情報量規準）：
$$AIC = -2\ell + 2k$$
BIC（ベイズ情報量規準）：
$$BIC = -2\ell + k \log(n)$$
$\ell$：最大対数尤度
$k$：パラメータ数
$n$：データ数
選択：
AIC/BICが最小のモデル
違い：
BICはAICより大きなペナルティ
→ より単純なモデルを選びやすい
例題6：モデル識別
問題：あるデータのACFがラグ2で0になり、PACFが指数的に減衰している。適切なモデルは？
解答：
【観察された特徴】
・ACF：ラグ2でカットオフ
・PACF：指数的減衰
【識別表との照合】
ACFがカットオフ → MAモデル
PACFが減衰 → MAモデルを支持
ラグ2でカットオフ → 次数2
【適切なモデル】
MA(2)
【モデル式】
$$X_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2}$$
【次のステップ】
① MA(2)のパラメータを推定
② 残差診断を実施
③ 必要に応じてモデル修正
【観察された特徴】
・ACF：ラグ2でカットオフ
・PACF：指数的減衰
【識別表との照合】
ACFがカットオフ → MAモデル
PACFが減衰 → MAモデルを支持
ラグ2でカットオフ → 次数2
【適切なモデル】
MA(2)
【モデル式】
$$X_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \theta_2 \varepsilon_{t-2}$$
【次のステップ】
① MA(2)のパラメータを推定
② 残差診断を実施
③ 必要に応じてモデル修正
📝 練習問題（15問）
問題 1
時系列の特徴
時系列データの最も重要な特徴は？
解答：
時間的順序と、
隣接する観測値の依存関係
時間的順序と、
隣接する観測値の依存関係
問題 2
定常性の条件
弱定常性の3条件を挙げよ。
解答：
① 平均が一定
② 分散が一定
③ 自己共分散が時差のみに依存
① 平均が一定
② 分散が一定
③ 自己共分散が時差のみに依存
問題 3
差分の目的
1次差分を取る主な目的は？
解答：
トレンドを除去して定常化する
トレンドを除去して定常化する
問題 4
ACFの定義
自己相関関数 $\rho(h)$ の定義を式で表せ。
解答：
$$\rho(h) = \frac{\gamma(h)}{\gamma(0)} = \text{Cor}(X_t, X_{t+h})$$
$$\rho(h) = \frac{\gamma(h)}{\gamma(0)} = \text{Cor}(X_t, X_{t+h})$$
問題 5
AR(1)の定義
AR(1)モデルを式で表せ。
解答：
$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$$
$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$$
問題 6
AR(1)の定常条件
AR(1)が定常となる条件は？
解答：
$|\phi| < 1$
$|\phi| < 1$
問題 7
MA(1)の定義
MA(1)モデルを式で表せ。
解答：
$$X_t = \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$$
$$X_t = \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$$
問題 8
MAモデルの特性
MA($q$)モデルのACFの特徴は？
解答：
ラグ $q$ でカットオフ
（ラグ $q+1$ 以降は0）
ラグ $q$ でカットオフ
（ラグ $q+1$ 以降は0）
問題 9
ARモデルの特性
AR($p$)モデルのPACFの特徴は？
解答：
ラグ $p$ でカットオフ
（ラグ $p+1$ 以降は0）
ラグ $p$ でカットオフ
（ラグ $p+1$ 以降は0）
問題 10
ホワイトノイズ
ホワイトノイズの定義を述べよ。
解答：
平均0、分散 $\sigma^2$ で
互いに無相関な確率変数の系列
$WN(0, \sigma^2)$
平均0、分散 $\sigma^2$ で
互いに無相関な確率変数の系列
$WN(0, \sigma^2)$
問題 11
後退作用素
後退作用素 $B$ の $X_t$ への作用は？
解答：
$BX_t = X_{t-1}$
$BX_t = X_{t-1}$
問題 12
季節差分
季節周期12の季節差分を式で表せ。
解答：
$\nabla_{12} X_t = X_t – X_{t-12}$
$\nabla_{12} X_t = X_t – X_{t-12}$
問題 13
AICの式
AICの計算式を書け。
解答：
$$AIC = -2\ell + 2k$$ （$\ell$：対数尤度、$k$：パラメータ数）
$$AIC = -2\ell + 2k$$ （$\ell$：対数尤度、$k$：パラメータ数）
問題 14
モデルの識別
ACFが指数的減衰、PACFがラグ1でカットオフ。適切なモデルは？
解答：
AR(1)モデル
AR(1)モデル
問題 15
ARMA(1,1)
ARMA(1,1)モデルを式で表せ。
解答：
$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$$
$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$$
📌 Step 14のまとめ
- 時系列データの基本概念と成分分解を理解した
- 定常性の定義と定常化の方法を習得した
- 自己相関関数（ACF）と偏自己相関関数（PACF）を理解した
- AR($p$)モデルの構造と性質を学んだ
- MA($q$)モデルの構造と性質を学んだ
- ARMA($p,q$)モデルとACF/PACFによる識別法を習得した
学習メモ
統計検定準1級対策 - Step 14
📋 過去のメモ一覧
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