【解答】

(1) $Z = X + Y$ の確率密度関数（8点）

方法1：畳み込み積分
$X, Y \sim \text{Exp}(\lambda)$ の密度関数：$f_X(x) = f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda x}$ ($x > 0$)

$Z = X + Y$ の密度関数： $$f_Z(z) = \int_0^z f_X(x) f_Y(z-x) \, dx = \int_0^z \lambda e^{-\lambda x} \cdot \lambda e^{-\lambda(z-x)} \, dx$$ $$= \int_0^z \lambda^2 e^{-\lambda z} \, dx = \lambda^2 e^{-\lambda z} \cdot z = \lambda^2 z e^{-\lambda z} \quad (z > 0)$$
方法2：積率母関数
$\text{Exp}(\lambda)$ の積率母関数：$M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda – t}$

$X, Y$ 独立より： $$M_Z(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t) = \left(\frac{\lambda}{\lambda – t}\right)^2$$
これは $\Gamma(2, \lambda)$ の積率母関数

答：$f_Z(z) = \lambda^2 z e^{-\lambda z}$ ($z > 0$)

これはガンマ分布 $\Gamma(2, \lambda)$ またはアーラン分布

採点基準：畳み込み積分の設定（3点）、積分の計算（4点）、最終答（1点）

(2) $U = \min\{X, Y\}$ の確率密度関数（12点）

累積分布関数から導出： $$F_U(u) = P(U \leq u) = P(\min\{X, Y\} \leq u) = 1 – P(\min\{X, Y\} > u)$$ $$= 1 – P(X > u \text{ かつ } Y > u) = 1 – P(X > u) P(Y > u) \quad \text{（独立性）}$$
$$P(X > u) = \int_u^\infty \lambda e^{-\lambda x} \, dx = e^{-\lambda u}$$
したがって： $$F_U(u) = 1 – e^{-\lambda u} \cdot e^{-\lambda u} = 1 – e^{-2\lambda u} \quad (u > 0)$$
確率密度関数： $$f_U(u) = \frac{dF_U(u)}{du} = 2\lambda e^{-2\lambda u} \quad (u > 0)$$
答：$f_U(u) = 2\lambda e^{-2\lambda u}$ ($u > 0$)

これは指数分布 $\text{Exp}(2\lambda)$

解釈：2つの独立な指数分布の最小値は、パラメータが2倍の指数分布に従う。

採点基準：累積分布関数の導出（6点）、確率密度関数の導出（5点）、最終答と解釈（1点）

【解答】

(1) 最尤推定量（6点）

尤度関数： $$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n P(X_i = x_i) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i!}$$
対数尤度： $$\ell(\lambda) = -n\lambda + \left(\sum x_i\right) \log \lambda – \log\left(\prod x_i!\right)$$
一階条件： $$\frac{d\ell}{d\lambda} = -n + \frac{\sum x_i}{\lambda} = 0 \quad \Rightarrow \quad \hat{\lambda} = \frac{\sum x_i}{n} = \bar{X}$$
二階条件： $$\frac{d^2\ell}{d\lambda^2} = -\frac{\sum x_i}{\lambda^2} < 0 \quad \text{→ 最大値}$$
答：$\hat{\lambda} = \bar{X}$（標本平均）

採点基準：対数尤度の導出（3点）、一階条件（2点）、最尤推定量（1点）

(2) 期待値と分散（7点）

期待値： $$E[\hat{\lambda}] = E[\bar{X}] = E\left[\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}\right] = \frac{1}{n} \sum E[X_i] = \frac{1}{n} \cdot n\lambda = \lambda$$
→ $\hat{\lambda}$ は不偏推定量

分散： $$\text{Var}(\hat{\lambda}) = \text{Var}(\bar{X}) = \text{Var}\left(\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \sum \text{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\lambda = \frac{\lambda}{n}$$
答：$E[\hat{\lambda}] = \lambda$, $\text{Var}(\hat{\lambda}) = \frac{\lambda}{n}$

採点基準：期待値の計算（3点）、分散の計算（4点）

(3) フィッシャー情報量（7点）

方法1：2階微分
1個のデータに対して： $$\ell_1(\lambda) = -\lambda + x \log \lambda – \log(x!)$$ $$\frac{d\ell_1}{d\lambda} = -1 + \frac{x}{\lambda}, \quad \frac{d^2\ell_1}{d\lambda^2} = -\frac{x}{\lambda^2}$$
フィッシャー情報量： $$I_1(\lambda) = -E\left[\frac{d^2\ell_1}{d\lambda^2}\right] = -E\left[-\frac{X}{\lambda^2}\right] = \frac{E[X]}{\lambda^2} = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}$$
$n$ 個のデータに対して： $$I(\lambda) = n \cdot I_1(\lambda) = \frac{n}{\lambda}$$
答：$I(\lambda) = \frac{n}{\lambda}$

クラメール・ラオの下限： $$\text{Var}(\hat{\lambda}) \geq \frac{1}{I(\lambda)} = \frac{\lambda}{n}$$
実際の分散 $\text{Var}(\hat{\lambda}) = \frac{\lambda}{n}$ → 下限を達成！

→ $\hat{\lambda}$ は有効推定量

採点基準：フィッシャー情報量の計算（5点）、有効性の確認（2点）

【解答】

(1) プールした分散（5点）
$$S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 – 2} = \frac{(8-1) \times 16 + (10-1) \times 20}{8 + 10 – 2}$$ $$= \frac{7 \times 16 + 9 \times 20}{16} = \frac{112 + 180}{16} = \frac{292}{16} = 18.25$$
答：$S_p^2 = 18.25$

採点：計算過程と答で5点

(2) 2標本 $t$ 検定（10点）

仮説：
$H_0: \mu_1 = \mu_2$
$H_1: \mu_1 \neq \mu_2$

検定統計量： $$t = \frac{\bar{X} – \bar{Y}}{\sqrt{S_p^2\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$$
分母の計算： $$SE = \sqrt{18.25 \times \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{10}\right)} = \sqrt{18.25 \times 0.225} = \sqrt{4.106} \approx 2.026$$
検定統計量の値： $$t = \frac{75 – 80}{2.026} = \frac{-5}{2.026} \approx -2.47$$
自由度：$df = n_1 + n_2 – 2 = 16$

臨界値：両側検定、$\alpha = 0.05$
臨界値：$\pm t_{16}(0.025) = \pm 2.120$

判定：$|t| = 2.47 > 2.120$

結論：$H_0$ を棄却
有意水準5%で、2つの母平均は異なる。母集団2の平均が有意に大きい。

採点基準：仮説設定（2点）、検定統計量の計算（4点）、判定（2点）、結論（2点）

(3) 平均差の信頼区間（5点）
$$(\bar{X} – \bar{Y}) \pm t_{16}(0.025) \times SE = (75 – 80) \pm 2.120 \times 2.026$$ $$= -5 \pm 4.295 = (-9.295, -0.705) \approx (-9.3, -0.7)$$
答：95%信頼区間は $(-9.3, -0.7)$

解釈：$\mu_1 – \mu_2$ は95%の信頼度で $-9.3$ から $-0.7$ の範囲にある。0を含まないため、$\mu_1 < \mu_2$ と判断できる。検定の結果と整合的。

採点基準：信頼区間の計算（3点）、解釈（2点）

【解答】

(1) 修正済み決定係数（5点）
$$\bar{R}^2 = 1 – (1 – R^2) \frac{n-1}{n-p-1}$$
$n = 30$（サンプルサイズ）, $p = 2$（説明変数の数）, $R^2 = 0.75$
$$\bar{R}^2 = 1 – (1 – 0.75) \times \frac{29}{27} = 1 – 0.25 \times 1.074 = 1 – 0.269 = 0.731$$
答：$\bar{R}^2 = 0.73$

解釈：変数の数を考慮しても、価格変動の約73%が説明される。

採点：計算式と答で5点

(2) 回帰係数の検定（8点）

仮説：
$H_0: \beta_1 = 0$（面積は無関係）
$H_1: \beta_1 \neq 0$

検定統計量： $$t = \frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{10}{2.0} = 5.0$$
自由度：$df = n – p – 1 = 30 – 2 – 1 = 27$

臨界値：両側検定、$\alpha = 0.05$
$t_{27}(0.025) = 2.052$

判定：$|t| = 5.0 > 2.052$

結論：$H_0$ を棄却
面積の係数は有意に0と異なる。面積は価格に有意な影響を与える。

95%信頼区間： $$10 \pm 2.052 \times 2.0 = 10 \pm 4.104 = (5.9, 14.1)$$
面積1m²あたりの価格上昇は95%の信頼度で5.9〜14.1万円

採点基準：仮説設定（2点）、検定統計量（2点）、判定（2点）、結論（2点）

(3) 価格の予測（7点）

$x_1 = 80$, $x_2 = 2$ のとき： $$\hat{y} = 500 + 10 \times 80 – 50 \times 2 = 500 + 800 – 100 = 1200$$
点予測：1200万円

95%予測区間：
予測誤差の標準偏差 $\approx s = 100$（簡略化） $$1200 \pm t_{27}(0.025) \times 100 = 1200 \pm 2.052 \times 100 = 1200 \pm 205.2 = (995, 1405)$$
答：予測価格：1200万円、95%予測区間：(995, 1405)万円

解釈：
・面積が大きいほど価格上昇（+10万円/m²）
・駅から遠いほど価格下落（-50万円/km）
・この物件は約1200万円と予測される

採点基準：点予測（3点）、予測区間（3点）、解釈（1点）

【解答】

(1) 分散分析表の完成（10点）

基本情報：
肥料：$a = 2$ 水準、品種：$b = 3$ 水準、繰り返し：$r = 2$、総数：$N = 2 \times 3 \times 2 = 12$

自由度：
$\phi_A = a – 1 = 2 – 1 = 1$
$\phi_B = b – 1 = 3 – 1 = 2$
$\phi_{A \times B} = (a-1)(b-1) = 1 \times 2 = 2$
$\phi_E = ab(r-1) = 2 \times 3 \times 1 = 6$
$\phi_T = N – 1 = 11$

確認：$1 + 2 + 2 + 6 = 11$ ✓

平均平方：
$MS_A = 180/1 = 180$
$MS_B = 240/2 = 120$
$MS_{A \times B} = 60/2 = 30$
$MS_E = 120/6 = 20$

$F$ 統計量：
$F_A = MS_A/MS_E = 180/20 = 9.0$
$F_B = MS_B/MS_E = 120/20 = 6.0$
$F_{A \times B} = MS_{A \times B}/MS_E = 30/20 = 1.5$

完成した分散分析表：

要因	SS	df	MS	$F$
肥料（A）	180	1	180.0	9.0
品種（B）	240	2	120.0	6.0
A×B	60	2	30.0	1.5
誤差	120	6	20.0
総和	600	11

採点基準：自由度の計算（4点）、平均平方の計算（3点）、$F$ 統計量の計算（3点）

(2) 各効果の検定（10点）

① 肥料の主効果
$H_0:$ 肥料の効果なし
$F_A = 9.0$, 臨界値：$F_{1,6}(0.05) = 5.99$
$9.0 > 5.99$ → 有意
結論：肥料の種類によって収量に有意差がある。

② 品種の主効果
$H_0:$ 品種の効果なし
$F_B = 6.0$, 臨界値：$F_{2,6}(0.05) = 5.14$
$6.0 > 5.14$ → 有意
結論：品種によって収量に有意差がある。

③ 交互作用
$H_0:$ 交互作用なし
$F_{A \times B} = 1.5$, 臨界値：$F_{2,6}(0.05) = 5.14$
$1.5 < 5.14$ → 非有意
結論：交互作用は有意でない。

総合結論：
・肥料と品種の両方が収量に影響する
・交互作用がないため、肥料の効果は品種によらず一定
・主効果のみで解釈可能

採点基準：肥料の主効果の検定（3点）、品種の主効果の検定（3点）、交互作用の検定（3点）、総合結論（1点）