📐 ステップ3：図形と計量
三角比、三平方の定理、図形の性質など、幾何学の基礎を学びます
📖 このステップで学ぶこと
このステップでは、図形と計量の基礎を学びます。三角比（sin, cos, tan）、三平方の定理、図形の面積・体積など、データ分析やプログラミングで使う幾何学の知識を身につけます。
📝 例題: 20問
🎯 到達目標: 三角比の計算ができ、三平方の定理を使って距離を求められる
🎯 到達目標: 三角比の計算ができ、三平方の定理を使って距離を求められる
1️⃣ 三平方の定理（ピタゴラスの定理）
三平方の定理は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す最も重要な定理です。
三平方の定理
直角三角形において、斜辺（一番長い辺）の2乗 = 他の2辺の2乗の和
$$a^2 + b^2 = c^2$$
ここで、
• $a$、$b$：直角を挟む2辺
• $c$：斜辺（直角の向かい側の辺）
直角三角形において、斜辺（一番長い辺）の2乗 = 他の2辺の2乗の和
$$a^2 + b^2 = c^2$$
ここで、
• $a$、$b$：直角を挟む2辺
• $c$：斜辺（直角の向かい側の辺）
例題1: 直角三角形の2辺がそれぞれ3cmと4cmのとき、斜辺の長さを求めなさい。
解答: 5cm
【考え方】
三平方の定理 $a^2 + b^2 = c^2$ を使います。
【ステップ1: 公式に代入】
$a = 3$、$b = 4$ を代入
$3^2 + 4^2 = c^2$
【ステップ2: 計算】
$9 + 16 = c^2$
$25 = c^2$
【ステップ3: 平方根をとる】
$c = \sqrt{25} = 5$
答え: 5cm
【覚えておくと便利】
3:4:5 は有名な直角三角形の比です。
他にも 5:12:13、8:15:17 などがあります。
【考え方】
三平方の定理 $a^2 + b^2 = c^2$ を使います。
【ステップ1: 公式に代入】
$a = 3$、$b = 4$ を代入
$3^2 + 4^2 = c^2$
【ステップ2: 計算】
$9 + 16 = c^2$
$25 = c^2$
【ステップ3: 平方根をとる】
$c = \sqrt{25} = 5$
答え: 5cm
【覚えておくと便利】
3:4:5 は有名な直角三角形の比です。
他にも 5:12:13、8:15:17 などがあります。
例題2: 直角三角形の斜辺が10cm、一辺が6cmのとき、もう一辺の長さを求めなさい。
解答: 8cm
【考え方】
斜辺が分かっているので、$c^2 – a^2 = b^2$ の形で計算します。
【ステップ1: 式を立てる】
$6^2 + b^2 = 10^2$
【ステップ2: 移項して計算】
$b^2 = 10^2 – 6^2$
$b^2 = 100 – 36$
$b^2 = 64$
【ステップ3: 平方根をとる】
$b = \sqrt{64} = 8$
答え: 8cm
【考え方】
斜辺が分かっているので、$c^2 – a^2 = b^2$ の形で計算します。
【ステップ1: 式を立てる】
$6^2 + b^2 = 10^2$
【ステップ2: 移項して計算】
$b^2 = 10^2 – 6^2$
$b^2 = 100 – 36$
$b^2 = 64$
【ステップ3: 平方根をとる】
$b = \sqrt{64} = 8$
答え: 8cm
例題3: 座標平面上で、点A(1, 2)と点B(4, 6)の距離を求めなさい。
解答: 5
【考え方】
2点間の距離は三平方の定理を使って求めます。
【ステップ1: x方向とy方向の差を求める】
x方向の差: $4 – 1 = 3$
y方向の差: $6 – 2 = 4$
【ステップ2: 三平方の定理を適用】
距離 $= \sqrt{3^2 + 4^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$
答え: 5
【2点間の距離の公式】
$$距離 = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
この公式は三平方の定理から導かれます。
【考え方】
2点間の距離は三平方の定理を使って求めます。
【ステップ1: x方向とy方向の差を求める】
x方向の差: $4 – 1 = 3$
y方向の差: $6 – 2 = 4$
【ステップ2: 三平方の定理を適用】
距離 $= \sqrt{3^2 + 4^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$
答え: 5
【2点間の距離の公式】
$$距離 = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
この公式は三平方の定理から導かれます。
💡 三平方の定理のポイント
• 直角三角形でのみ使える
• 斜辺は必ず一番長い辺
• 2点間の距離の計算に応用できる
• データ分析では「ユークリッド距離」として使われる
• 直角三角形でのみ使える
• 斜辺は必ず一番長い辺
• 2点間の距離の計算に応用できる
• データ分析では「ユークリッド距離」として使われる
2️⃣ 三角比の基礎（sin, cos, tan）
三角比は、直角三角形の角度と辺の比を表すものです。
三角比の定義
直角三角形において、角θに対して：
正弦（サイン）
$$\sin\theta = \frac{対辺（向かい側の辺）}{斜辺}$$
余弦（コサイン）
$$\cos\theta = \frac{隣辺（となりの辺）}{斜辺}$$
正接（タンジェント）
$$\tan\theta = \frac{対辺}{隣辺} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$
直角三角形において、角θに対して：
正弦（サイン）
$$\sin\theta = \frac{対辺（向かい側の辺）}{斜辺}$$
余弦（コサイン）
$$\cos\theta = \frac{隣辺（となりの辺）}{斜辺}$$
正接（タンジェント）
$$\tan\theta = \frac{対辺}{隣辺} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$
覚え方のコツ
「サイン対斜（たいしゃ）」= 対辺 ÷ 斜辺
「コサイン隣斜（りんしゃ）」= 隣辺 ÷ 斜辺
「タンジェント対隣（たいりん）」= 対辺 ÷ 隣辺
「サイン対斜（たいしゃ）」= 対辺 ÷ 斜辺
「コサイン隣斜（りんしゃ）」= 隣辺 ÷ 斜辺
「タンジェント対隣（たいりん）」= 対辺 ÷ 隣辺
代表的な角度の三角比
覚えておくべき値
| 角度 | 30° | 45° | 60° |
| $\sin$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\tan$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
例題4: 斜辺が10cmで、角度が30°の直角三角形の対辺の長さを求めなさい。
解答: 5cm
【考え方】
$\sin\theta = \frac{対辺}{斜辺}$ を使います。
【ステップ1: 公式を書く】
$\sin 30° = \frac{対辺}{斜辺}$
【ステップ2: 値を代入】
$\sin 30° = \frac{1}{2}$（覚える値）
$\frac{1}{2} = \frac{対辺}{10}$
【ステップ3: 対辺を求める】
対辺 $= 10 \times \frac{1}{2} = 5$
答え: 5cm
【考え方】
$\sin\theta = \frac{対辺}{斜辺}$ を使います。
【ステップ1: 公式を書く】
$\sin 30° = \frac{対辺}{斜辺}$
【ステップ2: 値を代入】
$\sin 30° = \frac{1}{2}$（覚える値）
$\frac{1}{2} = \frac{対辺}{10}$
【ステップ3: 対辺を求める】
対辺 $= 10 \times \frac{1}{2} = 5$
答え: 5cm
例題5: 斜辺が8cmで、角度が60°の直角三角形の隣辺の長さを求めなさい。
解答: 4cm
【考え方】
$\cos\theta = \frac{隣辺}{斜辺}$ を使います。
【ステップ1: 公式を書く】
$\cos 60° = \frac{隣辺}{斜辺}$
【ステップ2: 値を代入】
$\cos 60° = \frac{1}{2}$（覚える値）
$\frac{1}{2} = \frac{隣辺}{8}$
【ステップ3: 隣辺を求める】
隣辺 $= 8 \times \frac{1}{2} = 4$
答え: 4cm
【考え方】
$\cos\theta = \frac{隣辺}{斜辺}$ を使います。
【ステップ1: 公式を書く】
$\cos 60° = \frac{隣辺}{斜辺}$
【ステップ2: 値を代入】
$\cos 60° = \frac{1}{2}$（覚える値）
$\frac{1}{2} = \frac{隣辺}{8}$
【ステップ3: 隣辺を求める】
隣辺 $= 8 \times \frac{1}{2} = 4$
答え: 4cm
例題6: 角度が45°で、対辺が5cmの直角三角形の隣辺の長さを求めなさい。
解答: 5cm
【考え方】
$\tan\theta = \frac{対辺}{隣辺}$ を使います。
【ステップ1: 公式を書く】
$\tan 45° = \frac{対辺}{隣辺}$
【ステップ2: 値を代入】
$\tan 45° = 1$（覚える値）
$1 = \frac{5}{隣辺}$
【ステップ3: 隣辺を求める】
隣辺 $= \frac{5}{1} = 5$
答え: 5cm
【ポイント】
45°の直角三角形は、直角を挟む2辺が等しい「直角二等辺三角形」です。
【考え方】
$\tan\theta = \frac{対辺}{隣辺}$ を使います。
【ステップ1: 公式を書く】
$\tan 45° = \frac{対辺}{隣辺}$
【ステップ2: 値を代入】
$\tan 45° = 1$（覚える値）
$1 = \frac{5}{隣辺}$
【ステップ3: 隣辺を求める】
隣辺 $= \frac{5}{1} = 5$
答え: 5cm
【ポイント】
45°の直角三角形は、直角を挟む2辺が等しい「直角二等辺三角形」です。
💡 三角比のポイント
• $\sin$は対辺、$\cos$は隣辺、$\tan$は対辺÷隣辺
• 30°, 45°, 60°の値は暗記しておく
• $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$（重要な公式）
• 機械学習では角度の類似度計算（コサイン類似度）に使われる
• $\sin$は対辺、$\cos$は隣辺、$\tan$は対辺÷隣辺
• 30°, 45°, 60°の値は暗記しておく
• $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$（重要な公式）
• 機械学習では角度の類似度計算（コサイン類似度）に使われる
3️⃣ 図形の面積
基本的な図形の面積の公式を確認しましょう。
基本図形の面積公式
正方形
$$面積 = 一辺 \times 一辺 = a^2$$
長方形
$$面積 = 縦 \times 横$$
三角形
$$面積 = \frac{底辺 \times 高さ}{2}$$
台形
$$面積 = \frac{(上底 + 下底) \times 高さ}{2}$$
円
$$面積 = \pi r^2$$（$r$は半径）
扇形
$$面積 = \pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$$（$\theta$は中心角）
正方形
$$面積 = 一辺 \times 一辺 = a^2$$
長方形
$$面積 = 縦 \times 横$$
三角形
$$面積 = \frac{底辺 \times 高さ}{2}$$
台形
$$面積 = \frac{(上底 + 下底) \times 高さ}{2}$$
円
$$面積 = \pi r^2$$（$r$は半径）
扇形
$$面積 = \pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$$（$\theta$は中心角）
例題7: 底辺が8cm、高さが5cmの三角形の面積を求めなさい。
解答: 20cm²
【公式】
三角形の面積 $= \frac{底辺 \times 高さ}{2}$
【計算】
面積 $= \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$
答え: 20cm²
【公式】
三角形の面積 $= \frac{底辺 \times 高さ}{2}$
【計算】
面積 $= \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$
答え: 20cm²
例題8: 半径が3cmの円の面積を求めなさい（$\pi$を使って表す）。
解答: 9π cm²
【公式】
円の面積 $= \pi r^2$
【計算】
面積 $= \pi \times 3^2 = 9\pi$
答え: 9π cm²（約28.27cm²）
【公式】
円の面積 $= \pi r^2$
【計算】
面積 $= \pi \times 3^2 = 9\pi$
答え: 9π cm²（約28.27cm²）
例題9: 上底が4cm、下底が8cm、高さが6cmの台形の面積を求めなさい。
解答: 36cm²
【公式】
台形の面積 $= \frac{(上底 + 下底) \times 高さ}{2}$
【計算】
面積 $= \frac{(4 + 8) \times 6}{2}$
$= \frac{12 \times 6}{2}$
$= \frac{72}{2}$
$= 36$
答え: 36cm²
【公式】
台形の面積 $= \frac{(上底 + 下底) \times 高さ}{2}$
【計算】
面積 $= \frac{(4 + 8) \times 6}{2}$
$= \frac{12 \times 6}{2}$
$= \frac{72}{2}$
$= 36$
答え: 36cm²
三角比を使った面積の公式
2辺と挟む角から面積を求める
$$面積 = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C$$
ここで、$a$、$b$は2辺の長さ、$C$はその間の角度
$$面積 = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C$$
ここで、$a$、$b$は2辺の長さ、$C$はその間の角度
例題10: 2辺が6cmと8cmで、その間の角が30°の三角形の面積を求めなさい。
解答: 12cm²
【公式】
面積 $= \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C$
【ステップ1: 値を代入】
$a = 6$、$b = 8$、$C = 30°$
$\sin 30° = \frac{1}{2}$
【ステップ2: 計算】
面積 $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \frac{1}{2}$
$= \frac{1}{2} \times 48 \times \frac{1}{2}$
$= \frac{48}{4}$
$= 12$
答え: 12cm²
【公式】
面積 $= \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C$
【ステップ1: 値を代入】
$a = 6$、$b = 8$、$C = 30°$
$\sin 30° = \frac{1}{2}$
【ステップ2: 計算】
面積 $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \frac{1}{2}$
$= \frac{1}{2} \times 48 \times \frac{1}{2}$
$= \frac{48}{4}$
$= 12$
答え: 12cm²
4️⃣ 図形の体積
立体図形の体積の公式を確認しましょう。
基本立体の体積公式
直方体
$$体積 = 縦 \times 横 \times 高さ$$
立方体
$$体積 = 一辺^3 = a^3$$
円柱
$$体積 = \pi r^2 \times 高さ$$
円錐
$$体積 = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times 高さ$$
球
$$体積 = \frac{4}{3} \pi r^3$$
直方体
$$体積 = 縦 \times 横 \times 高さ$$
立方体
$$体積 = 一辺^3 = a^3$$
円柱
$$体積 = \pi r^2 \times 高さ$$
円錐
$$体積 = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times 高さ$$
球
$$体積 = \frac{4}{3} \pi r^3$$
例題11: 一辺が5cmの立方体の体積を求めなさい。
解答: 125cm³
【公式】
立方体の体積 $= a^3$
【計算】
体積 $= 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
答え: 125cm³
【公式】
立方体の体積 $= a^3$
【計算】
体積 $= 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
答え: 125cm³
例題12: 底面の半径が3cm、高さが10cmの円柱の体積を求めなさい（$\pi$を使って表す）。
解答: 90π cm³
【公式】
円柱の体積 $= \pi r^2 \times 高さ$
【計算】
体積 $= \pi \times 3^2 \times 10$
$= \pi \times 9 \times 10$
$= 90\pi$
答え: 90π cm³（約282.7cm³）
【公式】
円柱の体積 $= \pi r^2 \times 高さ$
【計算】
体積 $= \pi \times 3^2 \times 10$
$= \pi \times 9 \times 10$
$= 90\pi$
答え: 90π cm³（約282.7cm³）
例題13: 半径が6cmの球の体積を求めなさい（$\pi$を使って表す）。
解答: 288π cm³
【公式】
球の体積 $= \frac{4}{3} \pi r^3$
【計算】
体積 $= \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3$
$= \frac{4}{3} \times \pi \times 216$
$= \frac{4 \times 216}{3} \times \pi$
$= \frac{864}{3} \times \pi$
$= 288\pi$
答え: 288π cm³（約904.8cm³）
【公式】
球の体積 $= \frac{4}{3} \pi r^3$
【計算】
体積 $= \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3$
$= \frac{4}{3} \times \pi \times 216$
$= \frac{4 \times 216}{3} \times \pi$
$= \frac{864}{3} \times \pi$
$= 288\pi$
答え: 288π cm³（約904.8cm³）
5️⃣ 相似と比
相似とは、形が同じで大きさが異なる図形の関係です。
相似の性質
相似比が $m : n$ のとき：
• 対応する辺の比 = $m : n$
• 面積の比 = $m^2 : n^2$
• 体積の比 = $m^3 : n^3$
例:
相似比が $2 : 3$ のとき：
• 辺の比 = $2 : 3$
• 面積の比 = $4 : 9$
• 体積の比 = $8 : 27$
相似比が $m : n$ のとき：
• 対応する辺の比 = $m : n$
• 面積の比 = $m^2 : n^2$
• 体積の比 = $m^3 : n^3$
例:
相似比が $2 : 3$ のとき：
• 辺の比 = $2 : 3$
• 面積の比 = $4 : 9$
• 体積の比 = $8 : 27$
例題14: 相似比が2:3の2つの三角形がある。小さい方の面積が12cm²のとき、大きい方の面積を求めなさい。
解答: 27cm²
【考え方】
相似な図形の面積の比は、相似比の2乗になります。
【ステップ1: 面積の比を求める】
相似比 $= 2 : 3$
面積の比 $= 2^2 : 3^2 = 4 : 9$
【ステップ2: 比例式を立てる】
小さい方 : 大きい方 $= 4 : 9$
$12 : x = 4 : 9$
【ステップ3: 計算】
$4x = 12 \times 9$
$4x = 108$
$x = 27$
答え: 27cm²
【考え方】
相似な図形の面積の比は、相似比の2乗になります。
【ステップ1: 面積の比を求める】
相似比 $= 2 : 3$
面積の比 $= 2^2 : 3^2 = 4 : 9$
【ステップ2: 比例式を立てる】
小さい方 : 大きい方 $= 4 : 9$
$12 : x = 4 : 9$
【ステップ3: 計算】
$4x = 12 \times 9$
$4x = 108$
$x = 27$
答え: 27cm²
例題15: 相似比が1:2の2つの立方体がある。小さい方の体積が8cm³のとき、大きい方の体積を求めなさい。
解答: 64cm³
【考え方】
相似な立体の体積の比は、相似比の3乗になります。
【ステップ1: 体積の比を求める】
相似比 $= 1 : 2$
体積の比 $= 1^3 : 2^3 = 1 : 8$
【ステップ2: 計算】
小さい方が8cm³で、体積比が$1 : 8$なので、
大きい方 $= 8 \times 8 = 64$
答え: 64cm³
【考え方】
相似な立体の体積の比は、相似比の3乗になります。
【ステップ1: 体積の比を求める】
相似比 $= 1 : 2$
体積の比 $= 1^3 : 2^3 = 1 : 8$
【ステップ2: 計算】
小さい方が8cm³で、体積比が$1 : 8$なので、
大きい方 $= 8 \times 8 = 64$
答え: 64cm³
6️⃣ データ分析への応用
図形と計量の知識は、データ分析や機械学習で実際に使われます。
ユークリッド距離（Euclidean Distance）
2点間の直線距離を求める方法で、三平方の定理の応用です。
2次元の場合：
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
3次元の場合：
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}$$
使用場面:
• k-近傍法（kNN）での距離計算
• クラスタリング
• 推薦システム
2点間の直線距離を求める方法で、三平方の定理の応用です。
2次元の場合：
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
3次元の場合：
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}$$
使用場面:
• k-近傍法（kNN）での距離計算
• クラスタリング
• 推薦システム
例題16: データ点A(2, 3)とB(5, 7)のユークリッド距離を求めなさい。
解答: 5
【公式】
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
【計算】
$d = \sqrt{(5 – 2)^2 + (7 – 3)^2}$
$= \sqrt{3^2 + 4^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$
答え: 5
【公式】
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
【計算】
$d = \sqrt{(5 – 2)^2 + (7 – 3)^2}$
$= \sqrt{3^2 + 4^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$
答え: 5
コサイン類似度（Cosine Similarity）
2つのベクトルがどれくらい似ているかを角度で測る方法です。
$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$
• 値は -1 から 1 の範囲
• 1 に近いほど類似（同じ方向）
• 0 は直交（無関係）
• -1 は正反対
使用場面:
• 文書の類似度判定
• 推薦システム
• 自然言語処理
2つのベクトルがどれくらい似ているかを角度で測る方法です。
$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$
• 値は -1 から 1 の範囲
• 1 に近いほど類似（同じ方向）
• 0 は直交（無関係）
• -1 は正反対
使用場面:
• 文書の類似度判定
• 推薦システム
• 自然言語処理
例題17: ベクトル$\vec{a} = (3, 4)$と$\vec{b} = (4, 3)$のコサイン類似度を求めなさい。
解答: 0.96
【ステップ1: 内積を計算】
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 4 + 4 \times 3 = 12 + 12 = 24$
【ステップ2: 各ベクトルの大きさを計算】
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
【ステップ3: コサイン類似度を計算】
$\cos\theta = \frac{24}{5 \times 5} = \frac{24}{25} = 0.96$
答え: 0.96（非常に類似している）
【ステップ1: 内積を計算】
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 4 + 4 \times 3 = 12 + 12 = 24$
【ステップ2: 各ベクトルの大きさを計算】
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
【ステップ3: コサイン類似度を計算】
$\cos\theta = \frac{24}{5 \times 5} = \frac{24}{25} = 0.96$
答え: 0.96（非常に類似している）
例題18: 3次元空間の点P(1, 2, 3)と点Q(4, 6, 3)のユークリッド距離を求めなさい。
解答: 5
【公式】
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}$$
【計算】
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2}$
$= \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2}$
$= \sqrt{9 + 16 + 0}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$
答え: 5
【公式】
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}$$
【計算】
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2}$
$= \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2}$
$= \sqrt{9 + 16 + 0}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$
答え: 5
例題19: 縦4cm、横3cm、高さ12cmの直方体の対角線の長さを求めなさい。
解答: 13cm
【考え方】
直方体の対角線は、3次元の三平方の定理で求めます。
【公式】
$$対角線 = \sqrt{縦^2 + 横^2 + 高さ^2}$$
【計算】
$= \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}$
$= \sqrt{16 + 9 + 144}$
$= \sqrt{169}$
$= 13$
答え: 13cm
【考え方】
直方体の対角線は、3次元の三平方の定理で求めます。
【公式】
$$対角線 = \sqrt{縦^2 + 横^2 + 高さ^2}$$
【計算】
$= \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}$
$= \sqrt{16 + 9 + 144}$
$= \sqrt{169}$
$= 13$
答え: 13cm
例題20: 2つの都市A(100, 200)とB(400, 600)の間のユークリッド距離を求めなさい。
解答: 500
【公式】
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
【計算】
$d = \sqrt{(400 – 100)^2 + (600 – 200)^2}$
$= \sqrt{300^2 + 400^2}$
$= \sqrt{90000 + 160000}$
$= \sqrt{250000}$
$= 500$
答え: 500
【ポイント】
300:400:500 = 3:4:5 の比になっています。
【公式】
$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
【計算】
$d = \sqrt{(400 – 100)^2 + (600 – 200)^2}$
$= \sqrt{300^2 + 400^2}$
$= \sqrt{90000 + 160000}$
$= \sqrt{250000}$
$= 500$
答え: 500
【ポイント】
300:400:500 = 3:4:5 の比になっています。
💡 データ分析での応用ポイント
• ユークリッド距離: データ点間の「近さ」を測る
• コサイン類似度: データの「方向の類似性」を測る
• クラスタリングや分類の基本となる概念
• 次元が増えても同じ考え方が使える
• ユークリッド距離: データ点間の「近さ」を測る
• コサイン類似度: データの「方向の類似性」を測る
• クラスタリングや分類の基本となる概念
• 次元が増えても同じ考え方が使える
📚 このステップのまとめ
📐 図形と計量の重要公式
三平方の定理: $a^2 + b^2 = c^2$
三角比:
• $\sin\theta = \frac{対辺}{斜辺}$
• $\cos\theta = \frac{隣辺}{斜辺}$
• $\tan\theta = \frac{対辺}{隣辺}$
面積:
• 三角形: $\frac{底辺 \times 高さ}{2}$
• 円: $\pi r^2$
体積:
• 球: $\frac{4}{3}\pi r^3$
• 円柱: $\pi r^2 \times 高さ$
相似比と面積・体積:
• 相似比 $m:n$ → 面積比 $m^2:n^2$ → 体積比 $m^3:n^3$
三平方の定理: $a^2 + b^2 = c^2$
三角比:
• $\sin\theta = \frac{対辺}{斜辺}$
• $\cos\theta = \frac{隣辺}{斜辺}$
• $\tan\theta = \frac{対辺}{隣辺}$
面積:
• 三角形: $\frac{底辺 \times 高さ}{2}$
• 円: $\pi r^2$
体積:
• 球: $\frac{4}{3}\pi r^3$
• 円柱: $\pi r^2 \times 高さ$
相似比と面積・体積:
• 相似比 $m:n$ → 面積比 $m^2:n^2$ → 体積比 $m^3:n^3$
🎯 学習のポイント
• 三平方の定理は2点間の距離計算の基本
• 三角比の30°, 45°, 60°の値は暗記する
• 相似な図形では、面積は2乗、体積は3乗で比が変わる
• ユークリッド距離とコサイン類似度はデータ分析で頻出
• 三平方の定理は2点間の距離計算の基本
• 三角比の30°, 45°, 60°の値は暗記する
• 相似な図形では、面積は2乗、体積は3乗で比が変わる
• ユークリッド距離とコサイン類似度はデータ分析で頻出
学習メモ
数学基礎 - Step 3
📋 過去のメモ一覧
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