∫ ステップ5：積分の基礎
面積と累積を計算しよう！微分の逆操作をマスター
📚 このステップで学ぶこと
- 積分とは何か？（面積と累積の考え方）
- 不定積分の基本公式
- 定積分の計算方法
- 微分と積分の関係
- データ分析・ビジネスへの応用
📝 例題: 20問
🎯 到達目標: 基本的な関数を積分でき、定積分で面積を求められる
🎯 到達目標: 基本的な関数を積分でき、定積分で面積を求められる
1. 積分とは何か？
🎯 積分を一言で言うと
積分とは、「少しずつ変わる量を、全部足し合わせる計算」です。
身近な例で理解しよう
例1：毎日のお小遣い
月曜100円、火曜150円、水曜200円…と毎日違う額をもらいます。
→ 「1週間で合計いくらもらった？」を計算するのが積分！
例2：車の旅行
速度が変わりながら走りました（時速40km → 60km → 80km…）
→ 「合計で何km走った？」を計算するのが積分！
例1：毎日のお小遣い
月曜100円、火曜150円、水曜200円…と毎日違う額をもらいます。
→ 「1週間で合計いくらもらった？」を計算するのが積分！
例2：車の旅行
速度が変わりながら走りました（時速40km → 60km → 80km…）
→ 「合計で何km走った？」を計算するのが積分！
📊 積分の2つの種類
| 種類 | 意味 | 日常の例 | 答えの形 |
| 不定積分 | 「微分の逆」 元に戻す計算 |
「速度」から 「移動距離の式」を求める |
式 + C |
| 定積分 | 「面積を計算」 全部足す計算 |
毎日の売上から 1ヶ月の総売上を計算 |
具体的な数字 |
🔄 微分と積分の関係
微分と積分は「反対の操作」！
微分：「変化の速さ」を調べる
例：位置 → 微分 → 速度
積分：「全部でいくら」を調べる
例：速度 → 積分 → 位置（移動距離）
イメージ：
🍰 → 🔪 → 🍰🍰🍰（微分：ケーキを切り分ける）
🍰🍰🍰 → 🧩 → 🍰（積分：切り分けたものを元に戻す）
微分：「変化の速さ」を調べる
例：位置 → 微分 → 速度
積分：「全部でいくら」を調べる
例：速度 → 積分 → 位置（移動距離）
イメージ：
🍰 → 🔪 → 🍰🍰🍰（微分：ケーキを切り分ける）
🍰🍰🍰 → 🧩 → 🍰（積分：切り分けたものを元に戻す）
確認してみよう
$x^2$ を微分すると → $2x$
$2x$ を積分すると → $x^2 + C$（元に戻る！）
💼 データ分析での積分
- 売上分析： 日次売上 → 積分 → 月間総売上
- 確率計算： 確率密度関数 → 積分 → ある範囲の確率
- 累積分布： 度数分布 → 積分 → 累積度数
- 機械学習： ROC曲線の下の面積（AUC）を計算
2. 不定積分の基本公式
📐 積分の記号
$\displaystyle \int f(x) \, dx$
記号の意味
$\int$：インテグラル記号（Sumの頭文字Sを伸ばした形）
$f(x)$：積分したい関数
$dx$：「$x$について積分する」という意味
📚 公式1：$x^n$ の積分（最重要！）
$\displaystyle \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
覚え方（3ステップ）
ステップ1： 指数を1増やす（$n$ → $n+1$）
ステップ2： 増やした数で割る（$\div (n+1)$）
ステップ3： $+C$ をつける
📝 具体例で確認
例1： $\int x^2 \, dx$
→ 指数2を1増やす → $x^3$
→ 3で割る → $\dfrac{x^3}{3}$
→ $+C$ をつける → $\dfrac{1}{3}x^3 + C$
例2： $\int x^4 \, dx$
→ 指数4を1増やす → $x^5$
→ 5で割る → $\dfrac{x^5}{5}$
→ $\dfrac{1}{5}x^5 + C$
確認（微分で戻る）：
$\left(\dfrac{1}{3}x^3\right)’ = \dfrac{1}{3} \times 3x^2 = x^2$ ✓
例1： $\int x^2 \, dx$
→ 指数2を1増やす → $x^3$
→ 3で割る → $\dfrac{x^3}{3}$
→ $+C$ をつける → $\dfrac{1}{3}x^3 + C$
例2： $\int x^4 \, dx$
→ 指数4を1増やす → $x^5$
→ 5で割る → $\dfrac{x^5}{5}$
→ $\dfrac{1}{5}x^5 + C$
確認（微分で戻る）：
$\left(\dfrac{1}{3}x^3\right)’ = \dfrac{1}{3} \times 3x^2 = x^2$ ✓
📚 公式2：$x$ の積分
$\displaystyle \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C$
なぜ $\dfrac{1}{2}x^2$ になるの？
$x = x^1$ なので、指数は1です
→ 指数を1増やす → $x^2$
→ 2で割る → $\dfrac{x^2}{2} = \dfrac{1}{2}x^2$
💡 確認： $\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)’ = \dfrac{1}{2} \times 2x = x$ ✓
📚 公式3：定数の積分
$\displaystyle \int k \, dx = kx + C$ （$k$は定数）
なぜ $kx$ になるの？
定数 $k$ は $k \times x^0$ と考えます（$x^0 = 1$ だから）
→ 指数0を1増やす → $x^1 = x$
→ 1で割る → $x \div 1 = x$
→ 前の定数 $k$ を掛ける → $kx$
📝 具体例
• $\int 3 \, dx = 3x + C$
• $\int 5 \, dx = 5x + C$
• $\int (-2) \, dx = -2x + C$
• $\int 3 \, dx = 3x + C$
• $\int 5 \, dx = 5x + C$
• $\int (-2) \, dx = -2x + C$
📚 公式4：$e^x$ の積分（特別！）
$\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C$
💡 $e^x$ は特別な関数
微分しても $e^x$、積分しても $e^x$
変わらない！これが $e^x$ の特別な性質です。
微分しても $e^x$、積分しても $e^x$
変わらない！これが $e^x$ の特別な性質です。
📚 公式5：$\dfrac{1}{x}$ の積分
$\displaystyle \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
💡 なぜ $\ln|x|$ になるの？
$\ln x$ を微分すると $\dfrac{1}{x}$ になります。
だから、$\dfrac{1}{x}$ を積分すると $\ln x$ に戻ります。
$|x|$（絶対値）は、$x$ が負の数でも使えるようにするためです。
$\ln x$ を微分すると $\dfrac{1}{x}$ になります。
だから、$\dfrac{1}{x}$ を積分すると $\ln x$ に戻ります。
$|x|$（絶対値）は、$x$ が負の数でも使えるようにするためです。
📋 積分公式の一覧表
| 元の関数 | 積分後 | 覚え方 |
| $k$（定数） | $kx + C$ | 定数に $x$ を掛ける |
| $x$ | $\dfrac{1}{2}x^2 + C$ | 指数1→2、2で割る |
| $x^2$ | $\dfrac{1}{3}x^3 + C$ | 指数2→3、3で割る |
| $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | 指数を1増やして割る |
| $e^x$ | $e^x + C$ | そのまま！ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ | 自然対数になる |
⚠️ 超重要：「$+C$」を忘れずに！
なぜ $+C$ が必要？
例を見てみましょう：
• $(x^2)’ = 2x$
• $(x^2 + 5)’ = 2x$（5は消える）
• $(x^2 + 100)’ = 2x$（100も消える）
つまり、微分すると定数は消えます。
だから、積分で戻すとき「もしかしたら定数があったかも？」
という意味で $+C$（積分定数）をつけます。
3. 積分の計算ルール
📐 ルール1：和と差の積分
$\displaystyle \int \{f(x) + g(x)\} \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$
簡単に言うと：「足し算は、分けて計算できる！」
例：$\int (x^2 + 3x) \, dx$
ステップ1： 分けて考える
$= \int x^2 \, dx + \int 3x \, dx$
ステップ2： それぞれ積分する
$= \dfrac{1}{3}x^3 + 3 \times \dfrac{1}{2}x^2 + C$
ステップ3： 整理する
$= \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + C$
📐 ルール2：定数倍の積分
$\displaystyle \int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$
簡単に言うと：「前の数字は外に出せる！」
例：$\int 6x^2 \, dx$
方法1： 数字を外に出す
$= 6 \times \int x^2 \, dx$
$= 6 \times \dfrac{1}{3}x^3 + C$
$= 2x^3 + C$
方法2： そのまま計算
$\int 6x^2 \, dx$ → 指数を1増やして3で割る
$= \dfrac{6x^3}{3} + C = 2x^3 + C$
💡 ポイント： どちらの方法でも答えは同じ！好きな方法を使えばOK
4. 定積分（面積を計算する！）
🎯 定積分とは
不定積分と定積分の違い
不定積分：「どこからどこまで」が決まっていない
→ 答えに $+C$ がつく（式が答え）
定積分：「$a$ から $b$ まで」のように範囲が決まっている
→ 答えは具体的な数字（面積が答え）
不定積分：「どこからどこまで」が決まっていない
→ 答えに $+C$ がつく（式が答え）
定積分：「$a$ から $b$ まで」のように範囲が決まっている
→ 答えは具体的な数字（面積が答え）
$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$
$a$：下端（スタート）、$b$：上端（ゴール）
$a$：下端（スタート）、$b$：上端（ゴール）
📐 定積分の計算公式
$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)$
（$F(x)$ は $f(x)$ の不定積分）
（$F(x)$ は $f(x)$ の不定積分）
計算手順（4ステップ）
ステップ1： 不定積分 $F(x)$ を求める（$+C$ は不要！）
ステップ2： 上端 $b$ を代入して $F(b)$ を計算
ステップ3： 下端 $a$ を代入して $F(a)$ を計算
ステップ4： $F(b) – F(a)$ を計算
📊 具体例で理解しよう
例：$\int_0^2 x \, dx$ を計算
ステップ1： 不定積分を求める
$\int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2$
だから $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2$
ステップ2： 上端 $x = 2$ を代入
$F(2) = \dfrac{1}{2} \times 2^2 = \dfrac{1}{2} \times 4 = 2$
ステップ3： 下端 $x = 0$ を代入
$F(0) = \dfrac{1}{2} \times 0^2 = 0$
ステップ4： 引き算
$F(2) – F(0) = 2 – 0 = 2$
答え：2
💡 この「2」の意味：
$y = x$ のグラフの、$x = 0$ から $x = 2$ までの部分の面積が 2 ということです。
（三角形の面積：底辺2 × 高さ2 ÷ 2 = 2 で確認できます！）
$y = x$ のグラフの、$x = 0$ から $x = 2$ までの部分の面積が 2 ということです。
（三角形の面積：底辺2 × 高さ2 ÷ 2 = 2 で確認できます！）
📋 定積分の計算例
| 問題 | 不定積分 | $F(上端)$ | $F(下端)$ | 答え |
| $\int_0^2 x \, dx$ | $\dfrac{1}{2}x^2$ | $\dfrac{1}{2}(2)^2=2$ | $\dfrac{1}{2}(0)^2=0$ | $2$ |
| $\int_1^3 2x \, dx$ | $x^2$ | $3^2=9$ | $1^2=1$ | $8$ |
| $\int_0^1 x^2 \, dx$ | $\dfrac{1}{3}x^3$ | $\dfrac{1}{3}(1)^3=\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{3}(0)^3=0$ | $\dfrac{1}{3}$ |
💡 なぜ定積分では $+C$ がいらないの？
もし $+C$ があったとしても：
$F(b) = (\text{何か}) + C$
$F(a) = (\text{何か}) + C$
$F(b) – F(a) = (\text{何か}) + C – (\text{何か}) – C$
$C$ は引き算で消えるので、最初から書かなくてOKです！
もし $+C$ があったとしても：
$F(b) = (\text{何か}) + C$
$F(a) = (\text{何か}) + C$
$F(b) – F(a) = (\text{何か}) + C – (\text{何か}) – C$
$C$ は引き算で消えるので、最初から書かなくてOKです！
5. データ分析への応用
💼 積分の使い道
| 場面 | 何を計算するか | 具体例 |
| 売上分析 | 日次売上 → 月間総売上 | 毎日の売上を足して 1ヶ月の合計を計算 |
| 移動距離 | 速度 → 移動距離 | 変化する速度から 総移動距離を計算 |
| 確率計算 | 確率密度 → 範囲の確率 | 「$a$ 以上 $b$ 以下」の 確率を計算 |
| 機械学習 | ROC曲線 → AUC | モデルの性能を 面積で評価 |
💡 積分の本質
「少しずつ変わる量」を「全部足し合わせる」計算
これさえ覚えておけば、積分の意味が分かります！
イメージ：細かく刻んだピザを全部集めて、元の大きさを知る感じです🍕
6. 練習問題（20問）
実際に問題を解いて理解を深めましょう。
例題 1
定数の積分
$\int 3 \, dx$ を計算しなさい。
解答: $3x + C$
【考え方】
定数の積分は、その定数に $x$ を掛けます。
【計算】
$\int 3 \, dx = 3x + C$
【確認（微分で戻る）】
$(3x)’ = 3$ ✓
【ポイント】
$\int k \, dx = kx + C$（$k$は定数）
【考え方】
定数の積分は、その定数に $x$ を掛けます。
【計算】
$\int 3 \, dx = 3x + C$
【確認（微分で戻る）】
$(3x)’ = 3$ ✓
【ポイント】
$\int k \, dx = kx + C$（$k$は定数）
例題 2
$x$ の積分
$\int x \, dx$ を計算しなさい。
解答: $\dfrac{1}{2}x^2 + C$
【ステップ1】指数を確認
$x = x^1$ なので、指数は1
【ステップ2】指数を1増やす
$1 + 1 = 2$ → $x^2$
【ステップ3】増やした数で割る
$\dfrac{x^2}{2} = \dfrac{1}{2}x^2$
【ステップ4】$+C$ をつける
$\dfrac{1}{2}x^2 + C$
【確認】
$\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)’ = \dfrac{1}{2} \times 2x = x$ ✓
【ステップ1】指数を確認
$x = x^1$ なので、指数は1
【ステップ2】指数を1増やす
$1 + 1 = 2$ → $x^2$
【ステップ3】増やした数で割る
$\dfrac{x^2}{2} = \dfrac{1}{2}x^2$
【ステップ4】$+C$ をつける
$\dfrac{1}{2}x^2 + C$
【確認】
$\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)’ = \dfrac{1}{2} \times 2x = x$ ✓
例題 3
$x^2$ の積分
$\int x^2 \, dx$ を計算しなさい。
解答: $\dfrac{1}{3}x^3 + C$
【ステップ1】指数を確認
指数は2
【ステップ2】指数を1増やす
$2 + 1 = 3$ → $x^3$
【ステップ3】増やした数で割る
$\dfrac{x^3}{3} = \dfrac{1}{3}x^3$
【確認】
$\left(\dfrac{1}{3}x^3\right)’ = \dfrac{1}{3} \times 3x^2 = x^2$ ✓
【ポイント】
「指数を1増やして、その数で割る」
【ステップ1】指数を確認
指数は2
【ステップ2】指数を1増やす
$2 + 1 = 3$ → $x^3$
【ステップ3】増やした数で割る
$\dfrac{x^3}{3} = \dfrac{1}{3}x^3$
【確認】
$\left(\dfrac{1}{3}x^3\right)’ = \dfrac{1}{3} \times 3x^2 = x^2$ ✓
【ポイント】
「指数を1増やして、その数で割る」
例題 4
$x^3$ の積分
$\int x^3 \, dx$ を計算しなさい。
解答: $\dfrac{1}{4}x^4 + C$
【計算】
指数3を1増やす → $x^4$
4で割る → $\dfrac{x^4}{4}$
$\int x^3 \, dx = \dfrac{1}{4}x^4 + C$
【計算】
指数3を1増やす → $x^4$
4で割る → $\dfrac{x^4}{4}$
$\int x^3 \, dx = \dfrac{1}{4}x^4 + C$
例題 5
$x^5$ の積分
$\int x^5 \, dx$ を計算しなさい。
解答: $\dfrac{1}{6}x^6 + C$
【計算】
指数5を1増やす → $x^6$
6で割る → $\dfrac{x^6}{6}$
$\int x^5 \, dx = \dfrac{1}{6}x^6 + C$
【ポイント】
どんな指数でも同じルールです！
【計算】
指数5を1増やす → $x^6$
6で割る → $\dfrac{x^6}{6}$
$\int x^5 \, dx = \dfrac{1}{6}x^6 + C$
【ポイント】
どんな指数でも同じルールです！
例題 6
定数倍の積分
$\int 6x^2 \, dx$ を計算しなさい。
解答: $2x^3 + C$
【方法1：定数を外に出す】
$\int 6x^2 \, dx = 6 \times \int x^2 \, dx$
$= 6 \times \dfrac{1}{3}x^3 + C$
$= 2x^3 + C$
【方法2：そのまま計算】
$\int 6x^2 \, dx$
指数を1増やして3、係数6と合わせて
$= \dfrac{6x^3}{3} + C = 2x^3 + C$
【ポイント】
どちらの方法でもOK！
【方法1：定数を外に出す】
$\int 6x^2 \, dx = 6 \times \int x^2 \, dx$
$= 6 \times \dfrac{1}{3}x^3 + C$
$= 2x^3 + C$
【方法2：そのまま計算】
$\int 6x^2 \, dx$
指数を1増やして3、係数6と合わせて
$= \dfrac{6x^3}{3} + C = 2x^3 + C$
【ポイント】
どちらの方法でもOK！
例題 7
和の積分
$\int (x^2 + 3x) \, dx$ を計算しなさい。
解答: $\dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + C$
【ステップ1】分けて考える
$\int (x^2 + 3x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 3x \, dx$
【ステップ2】それぞれ積分
$\int x^2 \, dx = \dfrac{1}{3}x^3$
$\int 3x \, dx = 3 \times \dfrac{1}{2}x^2 = \dfrac{3}{2}x^2$
【ステップ3】合わせる
$= \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + C$
【ポイント】
足し算は分けて計算できる！
【ステップ1】分けて考える
$\int (x^2 + 3x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 3x \, dx$
【ステップ2】それぞれ積分
$\int x^2 \, dx = \dfrac{1}{3}x^3$
$\int 3x \, dx = 3 \times \dfrac{1}{2}x^2 = \dfrac{3}{2}x^2$
【ステップ3】合わせる
$= \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + C$
【ポイント】
足し算は分けて計算できる！
例題 8
多項式の積分
$\int (x^2 + 2x + 1) \, dx$ を計算しなさい。
解答: $\dfrac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C$
【項ごとに積分】
$\int x^2 \, dx = \dfrac{1}{3}x^3$
$\int 2x \, dx = 2 \times \dfrac{1}{2}x^2 = x^2$
$\int 1 \, dx = x$
【合わせる】
$= \dfrac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C$
【項ごとに積分】
$\int x^2 \, dx = \dfrac{1}{3}x^3$
$\int 2x \, dx = 2 \times \dfrac{1}{2}x^2 = x^2$
$\int 1 \, dx = x$
【合わせる】
$= \dfrac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C$
例題 9
$e^x$ の積分
$\int e^x \, dx$ を計算しなさい。
解答: $e^x + C$
【考え方】
$e^x$ は特別な関数で、積分してもそのまま $e^x$ です。
$\int e^x \, dx = e^x + C$
【確認】
$(e^x)’ = e^x$ ✓
【ポイント】
$e^x$ は微分しても積分しても変わらない！
【考え方】
$e^x$ は特別な関数で、積分してもそのまま $e^x$ です。
$\int e^x \, dx = e^x + C$
【確認】
$(e^x)’ = e^x$ ✓
【ポイント】
$e^x$ は微分しても積分しても変わらない！
例題 10
$\dfrac{1}{x}$ の積分
$\int \dfrac{1}{x} \, dx$ を計算しなさい。
解答: $\ln|x| + C$
【考え方】
$\dfrac{1}{x}$ の積分は特別な公式があります。
$\int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
【確認】
$(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$ ✓
【ポイント】
$|x|$（絶対値）は、$x$ が負でも使えるようにするため。
【考え方】
$\dfrac{1}{x}$ の積分は特別な公式があります。
$\int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
【確認】
$(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$ ✓
【ポイント】
$|x|$（絶対値）は、$x$ が負でも使えるようにするため。
例題 11
定積分（基本）
$\int_0^2 x \, dx$ を計算しなさい。
解答: $2$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2$
だから $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2$
【ステップ2】上端 $x = 2$ を代入
$F(2) = \dfrac{1}{2} \times 2^2 = \dfrac{1}{2} \times 4 = 2$
【ステップ3】下端 $x = 0$ を代入
$F(0) = \dfrac{1}{2} \times 0^2 = 0$
【ステップ4】引き算
$F(2) – F(0) = 2 – 0 = 2$
【意味】
$y = x$ のグラフの、$x = 0$ から $x = 2$ までの面積が 2
【ステップ1】不定積分を求める
$\int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2$
だから $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2$
【ステップ2】上端 $x = 2$ を代入
$F(2) = \dfrac{1}{2} \times 2^2 = \dfrac{1}{2} \times 4 = 2$
【ステップ3】下端 $x = 0$ を代入
$F(0) = \dfrac{1}{2} \times 0^2 = 0$
【ステップ4】引き算
$F(2) – F(0) = 2 – 0 = 2$
【意味】
$y = x$ のグラフの、$x = 0$ から $x = 2$ までの面積が 2
例題 12
定積分
$\int_1^3 2x \, dx$ を計算しなさい。
解答: $8$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int 2x \, dx = 2 \times \dfrac{1}{2}x^2 = x^2$
【ステップ2】上端と下端を代入
$F(3) = 3^2 = 9$
$F(1) = 1^2 = 1$
【ステップ3】引き算
$9 – 1 = 8$
【ポイント】
定積分では $+C$ は不要です。
【ステップ1】不定積分を求める
$\int 2x \, dx = 2 \times \dfrac{1}{2}x^2 = x^2$
【ステップ2】上端と下端を代入
$F(3) = 3^2 = 9$
$F(1) = 1^2 = 1$
【ステップ3】引き算
$9 – 1 = 8$
【ポイント】
定積分では $+C$ は不要です。
例題 13
定積分
$\int_0^1 x^2 \, dx$ を計算しなさい。
解答: $\dfrac{1}{3}$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int x^2 \, dx = \dfrac{1}{3}x^3$
【ステップ2】上端と下端を代入
$F(1) = \dfrac{1}{3} \times 1^3 = \dfrac{1}{3}$
$F(0) = \dfrac{1}{3} \times 0^3 = 0$
【ステップ3】引き算
$\dfrac{1}{3} – 0 = \dfrac{1}{3}$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int x^2 \, dx = \dfrac{1}{3}x^3$
【ステップ2】上端と下端を代入
$F(1) = \dfrac{1}{3} \times 1^3 = \dfrac{1}{3}$
$F(0) = \dfrac{1}{3} \times 0^3 = 0$
【ステップ3】引き算
$\dfrac{1}{3} – 0 = \dfrac{1}{3}$
例題 14
定積分（多項式）
$\int_1^2 (3x^2 + 2x) \, dx$ を計算しなさい。
解答: $10$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int (3x^2 + 2x) \, dx$
$= 3 \times \dfrac{1}{3}x^3 + 2 \times \dfrac{1}{2}x^2$
$= x^3 + x^2$
【ステップ2】上端 $x = 2$ を代入
$F(2) = 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12$
【ステップ3】下端 $x = 1$ を代入
$F(1) = 1^3 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
【ステップ4】引き算
$12 – 2 = 10$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int (3x^2 + 2x) \, dx$
$= 3 \times \dfrac{1}{3}x^3 + 2 \times \dfrac{1}{2}x^2$
$= x^3 + x^2$
【ステップ2】上端 $x = 2$ を代入
$F(2) = 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12$
【ステップ3】下端 $x = 1$ を代入
$F(1) = 1^3 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
【ステップ4】引き算
$12 – 2 = 10$
例題 15
定積分（定数）
$\int_1^4 2 \, dx$ を計算しなさい。
解答: $6$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int 2 \, dx = 2x$
【ステップ2】上端と下端を代入
$F(4) = 2 \times 4 = 8$
$F(1) = 2 \times 1 = 2$
【ステップ3】引き算
$8 – 2 = 6$
【意味】
$y = 2$ のグラフ（水平線）の、$x = 1$ から $x = 4$ までの面積
= 長方形の面積 = 幅3 × 高さ2 = 6
【ステップ1】不定積分を求める
$\int 2 \, dx = 2x$
【ステップ2】上端と下端を代入
$F(4) = 2 \times 4 = 8$
$F(1) = 2 \times 1 = 2$
【ステップ3】引き算
$8 – 2 = 6$
【意味】
$y = 2$ のグラフ（水平線）の、$x = 1$ から $x = 4$ までの面積
= 長方形の面積 = 幅3 × 高さ2 = 6
例題 16
定積分（引き算）
$\int_0^1 (x^2 – x) \, dx$ を計算しなさい。
解答: $-\dfrac{1}{6}$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int (x^2 – x) \, dx = \dfrac{1}{3}x^3 – \dfrac{1}{2}x^2$
【ステップ2】上端 $x = 1$ を代入
$F(1) = \dfrac{1}{3} \times 1 – \dfrac{1}{2} \times 1$
$= \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{2}$
$= \dfrac{2}{6} – \dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{6}$
【ステップ3】下端 $x = 0$ を代入
$F(0) = 0 – 0 = 0$
【ステップ4】引き算
$-\dfrac{1}{6} – 0 = -\dfrac{1}{6}$
【注意】
定積分の結果が負になることもあります。
これはグラフが $x$ 軸より下にある場合に起こります。
【ステップ1】不定積分を求める
$\int (x^2 – x) \, dx = \dfrac{1}{3}x^3 – \dfrac{1}{2}x^2$
【ステップ2】上端 $x = 1$ を代入
$F(1) = \dfrac{1}{3} \times 1 – \dfrac{1}{2} \times 1$
$= \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{2}$
$= \dfrac{2}{6} – \dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{6}$
【ステップ3】下端 $x = 0$ を代入
$F(0) = 0 – 0 = 0$
【ステップ4】引き算
$-\dfrac{1}{6} – 0 = -\dfrac{1}{6}$
【注意】
定積分の結果が負になることもあります。
これはグラフが $x$ 軸より下にある場合に起こります。
例題 17
積分と微分の関係
$\int 4x^3 \, dx$ を計算し、微分で確認しなさい。
解答: $x^4 + C$
【計算】
$\int 4x^3 \, dx$
$= 4 \times \dfrac{x^4}{4} + C$
$= x^4 + C$
【確認（微分で戻る）】
$(x^4 + C)’ = 4x^3$ ✓
【ポイント】
積分した結果を微分すると、元の式に戻ります。
これで答えが正しいか確認できます！
【計算】
$\int 4x^3 \, dx$
$= 4 \times \dfrac{x^4}{4} + C$
$= x^4 + C$
【確認（微分で戻る）】
$(x^4 + C)’ = 4x^3$ ✓
【ポイント】
積分した結果を微分すると、元の式に戻ります。
これで答えが正しいか確認できます！
例題 18
応用：速度から距離
車が時刻 $t$ における速度 $v(t) = 2t$ m/s で走っています。
$t = 0$ 秒から $t = 5$ 秒までに車が移動した距離を求めなさい。
解答: 25 メートル
【考え方】
速度を時間で積分すると、移動距離になります。
【計算】
距離 $= \int_0^5 2t \, dt$
【ステップ1】不定積分
$\int 2t \, dt = 2 \times \dfrac{1}{2}t^2 = t^2$
【ステップ2】定積分
$F(5) – F(0) = 5^2 – 0^2 = 25 – 0 = 25$
【データ分析での応用】
時系列データの累積計算でよく使います。
例：時間ごとの売上を積分して総売上を計算
【考え方】
速度を時間で積分すると、移動距離になります。
【計算】
距離 $= \int_0^5 2t \, dt$
【ステップ1】不定積分
$\int 2t \, dt = 2 \times \dfrac{1}{2}t^2 = t^2$
【ステップ2】定積分
$F(5) – F(0) = 5^2 – 0^2 = 25 – 0 = 25$
【データ分析での応用】
時系列データの累積計算でよく使います。
例：時間ごとの売上を積分して総売上を計算
例題 19
応用：売上計算
ある製品の1日あたりの売上が $f(t) = 100 + 20t$（万円）で表されます。
$t = 0$ 日目から $t = 10$ 日目までの総売上を求めなさい。
解答: 2000 万円
【考え方】
日次売上を積分すると、総売上になります。
【計算】
総売上 $= \int_0^{10} (100 + 20t) \, dt$
【ステップ1】不定積分
$\int (100 + 20t) \, dt = 100t + 20 \times \dfrac{1}{2}t^2$
$= 100t + 10t^2$
【ステップ2】上端 $t = 10$ を代入
$F(10) = 100 \times 10 + 10 \times 10^2$
$= 1000 + 1000 = 2000$
【ステップ3】下端 $t = 0$ を代入
$F(0) = 0 + 0 = 0$
【ステップ4】引き算
$2000 – 0 = 2000$
【ビジネスでの活用】
日次データから月次・年次データを計算する際に使います。
【考え方】
日次売上を積分すると、総売上になります。
【計算】
総売上 $= \int_0^{10} (100 + 20t) \, dt$
【ステップ1】不定積分
$\int (100 + 20t) \, dt = 100t + 20 \times \dfrac{1}{2}t^2$
$= 100t + 10t^2$
【ステップ2】上端 $t = 10$ を代入
$F(10) = 100 \times 10 + 10 \times 10^2$
$= 1000 + 1000 = 2000$
【ステップ3】下端 $t = 0$ を代入
$F(0) = 0 + 0 = 0$
【ステップ4】引き算
$2000 – 0 = 2000$
【ビジネスでの活用】
日次データから月次・年次データを計算する際に使います。
例題 20
定積分（$x^3$）
$\int_1^2 x^3 \, dx$ を計算しなさい。
解答: $\dfrac{15}{4}$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int x^3 \, dx = \dfrac{1}{4}x^4$
【ステップ2】上端 $x = 2$ を代入
$F(2) = \dfrac{1}{4} \times 2^4 = \dfrac{1}{4} \times 16 = 4$
【ステップ3】下端 $x = 1$ を代入
$F(1) = \dfrac{1}{4} \times 1^4 = \dfrac{1}{4}$
【ステップ4】引き算
$4 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{16}{4} – \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4}$
【ステップ1】不定積分を求める
$\int x^3 \, dx = \dfrac{1}{4}x^4$
【ステップ2】上端 $x = 2$ を代入
$F(2) = \dfrac{1}{4} \times 2^4 = \dfrac{1}{4} \times 16 = 4$
【ステップ3】下端 $x = 1$ を代入
$F(1) = \dfrac{1}{4} \times 1^4 = \dfrac{1}{4}$
【ステップ4】引き算
$4 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{16}{4} – \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4}$
📚 このステップのまとめ
📌 覚えておくべきこと
1. 積分の意味
• 不定積分 = 微分の逆（元に戻す）
• 定積分 = 面積の計算（全部足す）
2. 基本公式
$\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
（指数を1増やして、その数で割る）
3. 定積分の計算
$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)$
（上端の値 − 下端の値）
4. 微分と積分の関係
微分 ⇔ 積分 は逆の操作
積分した結果を微分すると元に戻る
1. 積分の意味
• 不定積分 = 微分の逆（元に戻す）
• 定積分 = 面積の計算（全部足す）
2. 基本公式
$\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
（指数を1増やして、その数で割る）
3. 定積分の計算
$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a)$
（上端の値 − 下端の値）
4. 微分と積分の関係
微分 ⇔ 積分 は逆の操作
積分した結果を微分すると元に戻る
🎯 次のステップへ進む前に
例題を復習して、基本的な積分がスラスラできるようになったらステップ6に進みましょう！
次は「確率の基礎」を学びます。
例題を復習して、基本的な積分がスラスラできるようになったらステップ6に進みましょう！
次は「確率の基礎」を学びます。
学習メモ
数学基礎 - Step 5
📋 過去のメモ一覧
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