解答: $x = 4$

【ステップ1】5を右辺に移動
左側の「$+5$」を右側に移動させます。
移動するときは、符号（プラス・マイナス）を逆にします。
$2x = 13 – 5$
$2x = 8$

【ステップ2】$x$を求める
$2x$は「$2 \times x$」という意味です。
$x$だけにするには、両辺を2で割ります。
$x = 8 \div 2 = 4$

【ポイント】方程式は、$x$の値を求める問題。数字を移動させるときは、両辺に同じ計算をする。

解答: $x = 5$

【ステップ1】7を移動
$3x = 22 – 7 = 15$

【ステップ2】$x$を求める
$x = 15 \div 3 = 5$

解答: $x = 4$

【ステップ1】$-3$を移動
マイナスを移動するときはプラスになります。
$5x = 17 + 3 = 20$

【ステップ2】$x$を求める
$x = 20 \div 5 = 4$

【ポイント】引き算（マイナス）を消すには、足し算を使います。

解答: $x = 3$

【ステップ1】カッコを外す（展開）
$3(x + 2)$は「$3 \times (x + 2)$」という意味。
カッコの中の全部に3をかけます。
$3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$
つまり、$3x + 6 = 15$

【ステップ2】6を移動
$3x = 15 – 6 = 9$

【ステップ3】$x$を求める
$x = 9 \div 3 = 3$

解答: $x = 4$

【ステップ1】同じ文字をまとめる
2個の$x$と3個の$x$を足すと、全部で5個の$x$になります。
$2x + 3x = 5x$
つまり、$5x = 20$

【ステップ2】$x$を求める
$x = 20 \div 5 = 4$

解答: $x^2 + 5x + 6$

【ステップ1】それぞれを掛ける
左のカッコと右のカッコ、全部の組み合わせで掛け算します。
• $x \times x = x^2$
• $x \times 2 = 2x$
• $3 \times x = 3x$
• $3 \times 2 = 6$

【ステップ2】全部を足して同類項をまとめる
$x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$

解答: $(x + 3)^2$

【完全平方式のパターンを見つける】
これは $(何か)^2$ の形になる式です。

【チェック方法】
• 最初の項：$x^2$（$x$の2乗）
• 最後の項：$9 = 3^2$（3の2乗）
• 真ん中の項：$6x = 2 \times 3 \times x$

公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
ここでは $a = x$、$b = 3$ なので、
答え：$(x + 3)^2$

解答: $(x + 3)(x – 3)$

【平方の差のパターン】
$x^2 – 9$ は $x^2 – 3^2$ と書けます。
これは「何かの2乗 − 何かの2乗」の形です。

【公式を使う】
$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

$a = x$、$b = 3$ なので、
$x^2 – 3^2 = (x + 3)(x – 3)$

解答: $x > 2$

【ステップ1】3を移動
不等式も方程式と同じように解きます。
$2x > 7 – 3$
$2x > 4$

【ステップ2】$x$を求める
両辺を2で割ります。
$x > 2$

解答: $x < 2$

【ステップ1】6を移動
$-3x > 0 – 6$
$-3x > -6$

【ステップ2】$x$を求める（注意！）
両辺を$-3$で割ります。
マイナスの数で割るときは、不等号の向きが逆になります！
$x < 2$

【超重要】負の数で割る・掛けるときは、不等号の向き（$>$や$<$）が逆になります！

解答: 傾き = 2、切片 = 3

【1次関数の基本形】
$y = ax + b$ という形の式では、
• $a$ が「傾き」（グラフの傾き具合）
• $b$ が「切片」（グラフが$y$軸と交わる点）

【この問題では】
$y = 2x + 3$ なので、
• 傾き $a = 2$
• 切片 $b = 3$

解答: $y = 9$

【$x$に3を代入】
$y = x^2$ の式の$x$に3を入れます。
$y = 3^2$

$3^2$は「$3 \times 3$」という意味です。
$y = 9$

解答: 傾き = 2

【傾きの公式】
$$\text{傾き} = \dfrac{y\text{の変化量}}{x\text{の変化量}}$$

【計算】
$y$の変化量 $= 6 – 2 = 4$
$x$の変化量 $= 3 – 1 = 2$

傾き $= \dfrac{4}{2} = 2$

解答: 右下がり

【傾きを見る】
$y = -x + 4$ の傾きは $-1$ です。
（$-x$ は $-1 \times x$ という意味）

【判断】
• 傾きがプラス → 右上がり
• 傾きがマイナス → 右下がり

傾きが $-1$（マイナス）なので、右下がりです。

解答: $y = 3x – 2$

【基本形に当てはめる】
$y = ax + b$ の形で、
• 傾き $a = 3$
• 切片 $b = -2$
を入れます。

$y = 3x + (-2) = 3x – 2$

解答: $y = 18$

【$x$に$-3$を代入】
$y = 2 \times (-3)^2$

【計算の順番に注意】
まず、$(-3)^2$ を計算します。
$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$
（マイナス × マイナス = プラス）

次に、$2 \times 9 = 18$

【ポイント】マイナスの数を2乗すると、プラスになります。

解答: $y = 3x – 1$

【ステップ1】基本形を使う
$y = 3x + b$ という式で、$b$を求めます。

【ステップ2】点$(2, 5)$を代入
$x = 2$、$y = 5$ を入れます。
$5 = 3 \times 2 + b$
$5 = 6 + b$

【ステップ3】$b$を求める
$b = 5 – 6 = -1$

【ステップ4】式を完成
$y = 3x – 1$

解答: 6

【ステップ1】$x = 1$ のときの$y$
$y = 2 \times 1 = 2$

【ステップ2】$x = 4$ のときの$y$
$y = 2 \times 4 = 8$

【ステップ3】変化量を求める
$y$の変化量 $= 8 – 2 = 6$

解答: 下に凸

【2次関数の形】
$y = ax^2$ の形で、$a$の符号を見ます。

【判断方法】
• $x^2$の前がプラス → 下に凸（U字型）
• $x^2$の前がマイナス → 上に凸（∩字型）

$y = x^2$ は $y = 1 \times x^2$ なので、係数はプラス。
よって、下に凸（U字型）

解答: $x = 2$

【ステップ1】$y$に5を代入
$5 = 4x – 3$
これは方程式になります。

【ステップ2】$x$を求める
$4x = 5 + 3$
$4x = 8$
$x = 8 \div 4 = 2$

解答: 16

【指数の意味】
$2^4$ は「2を4回掛ける」という意味です。
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2$

【順番に計算】
$2 \times 2 = 4$
$4 \times 2 = 8$
$8 \times 2 = 16$

解答: $3^5 = 243$

【指数法則を使う】
同じ底（この場合3）の掛け算は、指数を足します。
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

$3^3 \times 3^2 = 3^{3+2} = 3^5$

【$3^5$ を計算】
$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$

解答: $5^4 = 625$

【指数法則を使う】
同じ底の割り算は、指数を引きます。
$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$

$5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$

【$5^4$ を計算】
$5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$

解答: $2^6 = 64$

【累乗の累乗の法則】
指数の指数は、指数を掛けます。
$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$

【$2^6$ を計算】
$2^6 = 64$

解答: 1

【0乗の法則】
どんな数でも、0乗すると答えは1になります。
$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

【例】
$2^0 = 1$
$10^0 = 1$
$100^0 = 1$
$5^0 = 1$

解答: 3

【対数の意味】
$\log_2 8$ は「2を何回掛けたら8になるか？」という意味です。

【考える】
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$ ← これです！

2を3回掛けると8になります。
よって、$\log_2 8 = 3$

解答: 2

【対数の意味】
$\log_{10} 100$ は「10を何回掛けたら100になるか？」です。

【考える】
$10^1 = 10$
$10^2 = 100$ ← これです！

よって、$\log_{10} 100 = 2$

解答: 2

【対数の意味】
$\log_5 25$ は「5を何回掛けたら25になるか？」です。

【考える】
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$ ← これです！

よって、$\log_5 25 = 2$

解答: 0

【対数の意味】
$\log_2 1$ は「2を何回掛けたら1になるか？」です。

【考える】
$2^0 = 1$ ← これです！

2を0回掛ける（＝何も掛けない）と1になります。

【重要な公式】
どんな底でも、$\log_a 1 = 0$ です。

解答: 1

【対数の意味】
$\log_3 3$ は「3を何回掛けたら3になるか？」です。

【考える】
$3^1 = 3$ ← これです！

3を1回掛けると3になります。

【重要な公式】
底と真数が同じなら、答えは必ず1です。
$\log_a a = 1$

解答: $y’ = 3$

【定数倍の微分】
$y = 3x$ のように、$x$に定数が掛けてある形の微分は簡単です。
掛けてある数字がそのまま答えになります。

$y = 3x$ → $y’ = 3$

解答: $y’ = 2x$

【累乗の微分の公式】
$y = x^n$ の微分は、
① 指数$n$を前に持ってくる
② 指数を1減らす

【計算】
$y = x^2$
① 指数2を前に：$2 \times x$
② 指数を1減らす：$2x^{2-1} = 2x^1 = 2x$

$y’ = 2x$

解答: $y’ = 3x^2$

【累乗の微分】
$y = x^3$
① 指数3を前に：$3 \times x$
② 指数を1減らす：$3x^{3-1} = 3x^2$

解答: $y’ = 0$

【定数の微分】
定数（数字だけで$x$がない）の微分は、必ず0になります。

$y = 5$ には $x$ がないので、
$y’ = 0$

【ポイント】定数の微分は常に0です。これは重要なルールです！

解答: $y’ = 4x + 3$

【それぞれを微分】
足し算でつながっている式は、それぞれを別々に微分します。

• $2x^2$ の微分：$2 \times 2x = 4x$
• $3x$ の微分：$3$

合わせて：$y’ = 4x + 3$

解答: $y’ = 4x^3$

【累乗の微分】
$y = x^4$
① 指数4を前に：$4 \times x$
② 指数を1減らす：$4x^{4-1} = 4x^3$

解答: $y’ = 2x + 5$

【それぞれを微分】
• $x^2$ の微分：$2x$
• $5x$ の微分：$5$
• $-3$（定数）の微分：$0$

合わせる：$y’ = 2x + 5 + 0 = 2x + 5$

解答: $y’ = 12x^2 – 4x$

【それぞれを微分】
• $4x^3$ の微分：$4 \times 3x^2 = 12x^2$
• $-2x^2$ の微分：$-2 \times 2x = -4x$

合わせる：$y’ = 12x^2 – 4x$

解答: $y’ = 1$

【$x$の微分】
$y = x$ は $y = x^1$ と書けます。

① 指数1を前に：$1 \times x$
② 指数を1減らす：$1 \times x^{1-1} = 1 \times x^0 = 1 \times 1 = 1$

解答: 14

【ステップ1】微分する
$y = 3x^2 + 2x + 1$
$y’ = 6x + 2$

【ステップ2】$x = 2$ を代入
$y’ = 6 \times 2 + 2 = 12 + 2 = 14$

【ポイント】微分係数は、ある点での接線の傾きを表します。

解答: $3x + C$

【定数の積分】
定数（この場合3）の積分は、
その定数 $\times x + C$
という形になります。

$\int 3 \, dx = 3x + C$

【$C$って何？】積分定数といいます。微分すると消える定数を補うためのものです。

解答: $\dfrac{x^2}{2} + C$

【累乗の積分の公式】
$x^n$ の積分は、
① 指数を1増やす
② 新しい指数で割る

【計算】
$x = x^1$ と考えます。
① 指数を1増やす：$x^{1+1} = x^2$
② 新しい指数2で割る：$\dfrac{x^2}{2}$

$\int x \, dx = \dfrac{x^2}{2} + C$

解答: $\dfrac{x^3}{3} + C$

【累乗の積分】
① 指数を1増やす：$x^{2+1} = x^3$
② 新しい指数3で割る：$\dfrac{x^3}{3}$

$\int x^2 \, dx = \dfrac{x^3}{3} + C$

解答: $x^2 + 3x + C$

【それぞれを積分】
足し算でつながっている式は、それぞれ別々に積分します。

• $\int 2x \, dx = 2 \times \dfrac{x^2}{2} = x^2$
• $\int 3 \, dx = 3x$

合わせて：$x^2 + 3x + C$

解答: $\dfrac{x^4}{4} + C$

【累乗の積分】
① 指数を1増やす：$x^{3+1} = x^4$
② 新しい指数4で割る：$\dfrac{x^4}{4}$

$\int x^3 \, dx = \dfrac{x^4}{4} + C$

解答: 6

【ステップ1】まず不定積分
$\int 3x \, dx = 3 \times \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{3x^2}{2}$

【ステップ2】上端と下端を代入
$\left[\dfrac{3x^2}{2}\right]_0^2$
$= \dfrac{3 \times 2^2}{2} – \dfrac{3 \times 0^2}{2}$
$= \dfrac{3 \times 4}{2} – 0$
$= \dfrac{12}{2} = 6$

【ポイント】定積分では、$C$は不要。上端の値から下端の値を引きます。

解答: $\dfrac{x^3}{3} + x^2 + C$

【それぞれを積分】
• $\int x^2 \, dx = \dfrac{x^3}{3}$
• $\int 2x \, dx = 2 \times \dfrac{x^2}{2} = x^2$

合わせる：$\dfrac{x^3}{3} + x^2 + C$

解答: $\dfrac{26}{3}$

【ステップ1】不定積分
$\int x^2 \, dx = \dfrac{x^3}{3}$

【ステップ2】上端と下端を代入
$\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3$
$= \dfrac{3^3}{3} – \dfrac{1^3}{3}$
$= \dfrac{27}{3} – \dfrac{1}{3}$
$= \dfrac{26}{3}$

解答: $x^4 + C$

【累乗の積分】
$x^3$ の積分は $\dfrac{x^4}{4}$

4を掛けているので、
$4 \times \dfrac{x^4}{4} = x^4$

$\int 4x^3 \, dx = x^4 + C$

解答: 2

【ステップ1】不定積分
$\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x$

【ステップ2】上端と下端を代入
$[x^2 + x]_0^1$
$= (1^2 + 1) – (0^2 + 0)$
$= 2 – 0 = 2$

解答: $\dfrac{1}{6}$

【確率の基本公式】
確率には次の公式があります。
$$\text{確率} = \dfrac{\text{目当ての出方}}{\text{全部の出方}}$$

【ステップ1】全部の出方を数える
サイコロの目は 1、2、3、4、5、6 の6通りあります。

【ステップ2】目当ての出方を数える
3が出るのは「3」の1通りだけです。

【ステップ3】確率を求める
$$\text{確率} = \dfrac{1}{6}$$

解答: $\dfrac{1}{2}$

【ステップ1】全部の出方を数える
コインは「表」か「裏」の2通りしかありません。

【ステップ2】目当ての出方を数える
表が出るのは1通りです。

【ステップ3】確率を求める
$$\text{確率} = \dfrac{1}{2}$$

【ポイント】コインの表と裏は同じ確率で出ます。これを「同様に確からしい」といいます。

解答: $\dfrac{1}{2}$

【ステップ1】偶数の目を確認する
偶数とは「2で割り切れる数」のこと。
サイコロの偶数は 2、4、6 の3つです。

【ステップ2】確率を求める
全部で6通り、偶数は3通りなので、
$$\text{確率} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

【ポイント】分数は約分して、最も簡単な形にします。

解答: $\dfrac{3}{5}$

【ステップ1】全部の玉を数える
赤玉3個 $+$ 青玉2個 $=$ 全部で5個

【ステップ2】赤玉の数を確認
赤玉は3個です。

【ステップ3】確率を求める
$$\text{確率} = \dfrac{3}{5}$$

【イメージ】5個の玉のうち3個が赤。どの玉も同じ確率で取り出されるので、5分の3です。

解答: $\dfrac{1}{4}$

【ステップ1】全部の出方を書き出す
1回目と2回目の組み合わせを考えます。
• （表、表）
• （表、裏）
• （裏、表）
• （裏、裏）
全部で4通りあります。

【ステップ2】目当ての出方を数える
2回とも表は（表、表）の1通りだけ。

【ステップ3】確率を求める
$$\text{確率} = \dfrac{1}{4}$$

【別解：掛け算で求める】
1回目が表の確率 $\times$ 2回目が表の確率
$= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

解答: $\dfrac{1}{2}$

【ステップ1】4以上の目を確認する
「4以上」とは「4と同じか、4より大きい」という意味。
4、5、6 の3つが該当します。

【ステップ2】確率を求める
$$\text{確率} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

【ポイント】「以上」は、その数を含みます。「より大きい」はその数を含みません。

解答: $\dfrac{1}{4}$

【ステップ1】トランプの構成を確認
トランプは4種類のマーク（スート）があります。
• ハート ♥：13枚
• ダイヤ ♦：13枚
• スペード ♠：13枚
• クラブ ♣：13枚
合計：52枚

【ステップ2】確率を求める
$$\text{確率} = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$$

解答: $\dfrac{3}{5}$

【ステップ1】全部の玉を数える
赤玉4個 $+$ 白玉6個 $=$ 全部で10個

【ステップ2】確率を求める
白玉は6個なので、
$$\text{確率} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$$

解答: $\dfrac{5}{6}$

【余事象とは？】
「〜が起きない」確率は、「全体から〜が起きる確率を引く」ことで求められます。
これを「余事象」といいます。

【公式】
$$P(\text{起きない}) = 1 – P(\text{起きる})$$

【ステップ1】1が出る確率
1が出る確率 $= \dfrac{1}{6}$

【ステップ2】1が出ない確率
$$1 – \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} – \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$$

解答: $\dfrac{3}{4}$

【「少なくとも」は余事象で解く！】
「少なくとも1回表」の反対は「1回も表が出ない」= 「2回とも裏」です。

【ステップ1】全部の出方を確認
• （表、表）
• （表、裏）
• （裏、表）
• （裏、裏）← これだけが「表が1回も出ない」
全部で4通り

【ステップ2】2回とも裏の確率
$$P(\text{2回とも裏}) = \dfrac{1}{4}$$

【ステップ3】少なくとも1回表の確率
$$1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$$

【ポイント】「少なくとも〜」の問題は、余事象（反対のこと）を考えると楽に解けます！

解答: 7

【平均値の公式】
$$\bar{x} = \dfrac{\text{データの合計}}{\text{データの個数}}$$

【ステップ1】データを全部足す
$3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35$

【ステップ2】データの個数を数える
5個のデータがあります。

【ステップ3】平均値を求める
$$\bar{x} = \dfrac{35}{5} = 7$$

解答: 5

【中央値とは？】
データを小さい順に並べたとき、真ん中にくる値のことです。

【ステップ1】データを小さい順に並べる
$2, 4, 5, 5, 9$（すでに並んでいます）

【ステップ2】真ん中を見つける
5個のデータなので、真ん中は3番目です。
$2, 4, \boxed{5}, 5, 9$

【ステップ3】中央値を答える
中央値 $= 5$

解答: 5

【最頻値とは？】
データの中で、一番多く出てくる値のことです。
「一番人気」と考えてください。

【ステップ1】各値の回数を数える
• 3：1回
• 5：3回 ← 一番多い！
• 7：1回
• 9：1回

【ステップ2】最頻値を答える
最頻値 $= 5$

解答: 8

【範囲の公式】
$$\text{範囲} = \text{最大値} – \text{最小値}$$

【ステップ1】最大値と最小値を見つける
• 最大値：9
• 最小値：1

【ステップ2】範囲を求める
$$\text{範囲} = 9 – 1 = 8$$

【ポイント】範囲は「データの広がり具合」を表します。範囲が大きいほど、データがバラついています。

解答: 20

【ステップ1】データを全部足す
$10 + 20 + 30 = 60$

【ステップ2】データの個数で割る
$$\bar{x} = \dfrac{60}{3} = 20$$

【別の考え方】
10、20、30 は等間隔に並んでいます。このような場合、真ん中の値がそのまま平均値になります！

解答: 5

【偶数個の場合】
データが偶数個のときは、真ん中の2つの値の平均が中央値になります。

【ステップ1】データを並べる
$2, 4, 6, 8$（4個のデータ）

【ステップ2】真ん中の2つを見つける
$2, \boxed{4, 6}, 8$
真ん中は4と6です。

【ステップ3】2つの平均を求める
$$\text{中央値} = \dfrac{4 + 6}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$

解答: 84点

【ステップ1】合計点を求める
$70 + 80 + 85 + 90 + 95 = 420$

【ステップ2】人数で割る
$$\bar{x} = \dfrac{420}{5} = 84$$

解答: 平均値10、中央値10、最頻値5と15

【平均値】
$\dfrac{5 + 5 + 10 + 15 + 15}{5} = \dfrac{50}{5} = 10$

【中央値】
データを並べる：$5, 5, \boxed{10}, 15, 15$
5個なので真ん中は3番目 → 中央値 $= 10$

【最頻値】
• 5：2回
• 10：1回
• 15：2回
5と15が同じ回数で最も多い → 最頻値 $= 5$ と $15$（複数あり得ます）

解答: 平均値11、範囲16

【平均値】
$\dfrac{3 + 7 + 11 + 15 + 19}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$

【範囲】
最大値 $-$ 最小値 $= 19 – 3 = 16$

解答: 250

【ステップ1】合計を求める
$100 + 200 + 300 + 400 = 1000$

【ステップ2】個数で割る
$$\bar{x} = \dfrac{1000}{4} = 250$$

【別の考え方】
100、200、300、400 は等間隔。偶数個なので、真ん中2つ（200と300）の平均が全体の平均値になります。
$\dfrac{200 + 300}{2} = 250$

解答: $x = 6$、$y = 7$

【ステップ1】方程式を解く
$4x – 8 = 2x + 4$

$x$の項を左に、数字を右に集めます。
$4x – 2x = 4 + 8$
$2x = 12$
$x = 6$

【ステップ2】$y$を求める
$y = x + 1$ に $x = 6$ を代入します。
$y = 6 + 1 = 7$

解答: 4

【接線の傾き = 微分係数】
ある点での接線の傾きは、微分して$x$の値を代入すると求められます。

【ステップ1】$y = x^2$ を微分する
$y’ = 2x$

【ステップ2】$x = 2$ を代入する
$y’ = 2 \times 2 = 4$

【ポイント】$x = 2$ での接線の傾きは4です。これは、その点でグラフが「右に1進むと上に4進む」傾きであることを意味します。

解答: $y’ = 16x$

【ステップ1】指数を計算する
まず $2^3$ を計算します。
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

つまり、$y = 8x^2$ です。

【ステップ2】微分する
$y = 8x^2$
$y’ = 8 \times 2x = 16x$

解答: $2x + C$

【ステップ1】微分する
$y = 2x$
$y’ = 2$

【ステップ2】積分する
$\int 2 \, dx = 2x + C$

【ポイント】
微分して積分すると、元の関数に戻ります（積分定数$C$を除いて）。
$2x \xrightarrow{\text{微分}} 2 \xrightarrow{\text{積分}} 2x + C$

これは微分と積分が「逆の操作」であることを示しています！

解答: 定積分 = 8、確率 = 0

【ステップ1】定積分を計算する
$\int_1^3 2x \, dx$

まず不定積分：$\int 2x \, dx = x^2$

定積分を計算：
$[x^2]_1^3 = 3^2 – 1^2 = 9 – 1 = 8$

【ステップ2】確率を考える
サイコロの目は 1、2、3、4、5、6 の6つだけ。
8はサイコロの目に存在しません。

存在しない目が出る確率は $0$ です。

解答: 平均 = 4、確率 = $\dfrac{1}{2}$

【ステップ1】平均値を求める
$$\bar{x} = \dfrac{2 + 4 + 6}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$$

【ステップ2】4以上が出る確率を求める
サイコロで4以上の目は 4、5、6 の3通り。
全部で6通りあるので、
$$\text{確率} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

解答: $x = 3$

【考え方】
「2を何回掛けたら8になるか？」を考えます。

【ステップ1】2の累乗を計算してみる
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$ ← これ！

【ステップ2】答えを出す
$2^3 = 8$ なので、$x = 3$

【対数を使う方法】
$\log_2 8 = 3$ と同じ意味です。

解答: $y = 16$

【ステップ1】$x$に4を代入する
$y = 2^4$

【ステップ2】$2^4$を計算する
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

解答: 3

【ステップ1】各対数を計算する
• $\log_2 4 = 2$（$2^2 = 4$ だから）
• $\log_2 8 = 3$（$2^3 = 8$ だから）
• $\log_2 16 = 4$（$2^4 = 16$ だから）

【ステップ2】平均値を求める
データは $\{2, 3, 4\}$ になりました。
$$\bar{x} = \dfrac{2 + 3 + 4}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$$

解答:
• 因数分解: $(x-1)(x-3)$
• 微分: $2x – 4$
• 積分: $\dfrac{x^3}{3} – 2x^2 + 3x + C$

【因数分解】
$x^2 – 4x + 3$
足して$-4$、掛けて$3$になる2つの数を探します。
$-1$ と $-3$（$-1 + (-3) = -4$、$-1 \times (-3) = 3$）
答え：$(x – 1)(x – 3)$

【微分】
$y = x^2 – 4x + 3$
$y’ = 2x – 4$

【積分】
$\int (x^2 – 4x + 3) \, dx$
$= \dfrac{x^3}{3} – \dfrac{4x^2}{2} + 3x + C$
$= \dfrac{x^3}{3} – 2x^2 + 3x + C$

解答: 最小値 $-1$（$x = 2$ のとき）

【微分を使って最小値を見つける】
最小値（または最大値）では、接線の傾きが0になります。

【ステップ1】微分する
$y = x^2 – 4x + 3$
$y’ = 2x – 4$

【ステップ2】$y’ = 0$ を解く
$2x – 4 = 0$
$x = 2$

【ステップ3】$y$の値を求める
$x = 2$ を元の式に代入します。
$y = 2^2 – 4 \times 2 + 3$
$= 4 – 8 + 3 = -1$

【ポイント】$x^2$の係数がプラスなので、グラフは下に凸。よって$x = 2$で最小値をとります。

解答: 2

【ステップ1】定積分を計算する
$\int_0^2 x \, dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2$
$= \dfrac{2^2}{2} – \dfrac{0^2}{2}$
$= \dfrac{4}{2} – 0 = 2$

【ステップ2】平均値を求める
データは $\{1, 2, 3, 2\}$ になりました。
$$\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 2}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$$

解答: $\log_2 4 + \log_2 2 = 3$、確率 = $\dfrac{1}{2}$

【ステップ1】対数を計算する
• $\log_2 4 = 2$（$2^2 = 4$）
• $\log_2 2 = 1$（$2^1 = 2$）
合計：$2 + 1 = 3$

【ステップ2】3以下の目が出る確率
3以下は 1、2、3 の3通り。
$$\text{確率} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

解答: 因数分解 $(x+3)^2$、頂点の$x$座標 $= -3$

【因数分解】
$x^2 + 6x + 9$ は完全平方式です。
$= (x + 3)^2$

【微分で頂点を求める】
$y = x^2 + 6x + 9$
$y’ = 2x + 6$

頂点では傾きが0なので、
$2x + 6 = 0$
$x = -3$

【別解】
$(x + 3)^2 = 0$ となるのは $x = -3$ のとき。これが頂点です。

解答: $x = 3$、$y = 9$、$y’ = 2x$

【ステップ1】方程式を解く
$2x + 4 = 10$
$2x = 10 – 4 = 6$
$x = 3$

【ステップ2】$y$を求める
$y = x^2 = 3^2 = 9$

【ステップ3】微分する
$y = x^2$ を微分すると、
$y’ = 2x$

解答: 9

【定積分で面積を求める】
グラフと$x$軸で囲まれた面積は、定積分で求められます。

$$\text{面積} = \int_0^3 2x \, dx$$

【ステップ1】不定積分
$\int 2x \, dx = x^2$

【ステップ2】定積分を計算
$[x^2]_0^3 = 3^2 – 0^2 = 9 – 0 = 9$

解答: 1.5

【ステップ1】可能なデータを確認
表が出る回数は 0回、1回、2回、3回 の4通りです。
データ $= \{0, 1, 2, 3\}$

【ステップ2】平均値を求める
$$\bar{x} = \dfrac{0 + 1 + 2 + 3}{4} = \dfrac{6}{4} = 1.5$$

【ポイント】これは「可能な回数」の平均であり、「期待値」とは異なります。

解答: 3

【対数の意味】
$\log_2 8$ は「2を何回掛けたら8になるか？」という意味です。

【考える】
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$ ← これ！

よって、$\log_2 8 = 3$

解答: $x < 5$、確率 = $\dfrac{2}{3}$

【ステップ1】不等式を解く
$3x – 6 < 9$
$3x < 9 + 6$
$3x < 15$
$x < 5$

【ステップ2】サイコロで出せる数を数える
$x < 5$ なので、サイコロの目では 1、2、3、4 の4通り。

【ステップ3】確率を求める
$$\text{確率} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$$

解答: 14

【ステップ1】微分する
$y = x^3$
$y’ = 3x^2$

【ステップ2】各点での微分係数を求める
• $x = 1$：$y’ = 3 \times 1^2 = 3$
• $x = 2$：$y’ = 3 \times 2^2 = 12$
• $x = 3$：$y’ = 3 \times 3^2 = 27$

【ステップ3】平均を求める
$$\bar{x} = \dfrac{3 + 12 + 27}{3} = \dfrac{42}{3} = 14$$

解答: 展開 $x^2 + 4x + 4$、微分 $2x + 4$、$x=1$で$6$、確率 $\dfrac{1}{6}$

【ステップ1】展開する
$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \times 2 \times x + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

【ステップ2】微分する
$y = x^2 + 4x + 4$
$y’ = 2x + 4$

【ステップ3】$x = 1$での値
$y’ = 2 \times 1 + 4 = 6$

【ステップ4】確率を求める
6が出る確率 $= \dfrac{1}{6}$

解答: 定積分 = 4、$\log_2 4 = 2$ として表せる

【ステップ1】定積分を計算する
$\int_1^2 (2x + 1) \, dx$
$= [x^2 + x]_1^2$
$= (2^2 + 2) – (1^2 + 1)$
$= (4 + 2) – (1 + 1)$
$= 6 – 2 = 4$

【ステップ2】$\log_2$ で表せるか確認
$4 = 2^2$ なので、
$\log_2 4 = 2$
表せます！

解答: 3

【ステップ1】元の数列を求める
各数の平方根を取ります。
• $1 = 1^2$ → 元は 1
• $4 = 2^2$ → 元は 2
• $9 = 3^2$ → 元は 3
• $16 = 4^2$ → 元は 4
• $25 = 5^2$ → 元は 5

元の数列は $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

【ステップ2】平均を求める
$$\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$$

解答: 因数分解 $(x-2)(x-4)$、交点 $x = 2, 4$、面積 $\dfrac{4}{3}$

【ステップ1】因数分解する
$x^2 – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4)$

【ステップ2】$x$軸との交点を求める
$(x – 2)(x – 4) = 0$
$x = 2$ または $x = 4$

【ステップ3】面積を積分で求める
$x = 2$ から $x = 4$ の間で、グラフは$x$軸より下にあります。
面積は絶対値を取るので、
$$\text{面積} = -\int_2^4 (x^2 – 6x + 8) \, dx$$

$= -\left[\dfrac{x^3}{3} – 3x^2 + 8x\right]_2^4$

$= -\left[\left(\dfrac{64}{3} – 48 + 32\right) – \left(\dfrac{8}{3} – 12 + 16\right)\right]$

$= -\left[\dfrac{64}{3} – 16 – \dfrac{8}{3} – 4\right]$

$= -\left[\dfrac{56}{3} – 20\right] = -\left[\dfrac{56 – 60}{3}\right] = -\left[-\dfrac{4}{3}\right] = \dfrac{4}{3}$

解答: $\int_0^3 1 \, dx = 3$、すべて「3」でつながる

【定積分を計算する】
$\int_0^3 1 \, dx = [x]_0^3 = 3 – 0 = 3$

【3つの関係】
• $2^3 = 8$（指数）
• $\log_2 8 = 3$（対数）
• $\int_0^3 1 \, dx = 3$（積分）

すべて「3」という数字が登場します！

【深い関係】
指数と対数は「逆の操作」の関係にあります。
微分と積分も「逆の操作」の関係にあります。
数学では「逆の操作」がとても重要です！

解答: 6

【ステップ1】すべての組み合わせを書き出す
• $(1,2) \to 3$
• $(1,3) \to 4$
• $(1,4) \to 5$
• $(1,5) \to 6$
• $(2,3) \to 5$
• $(2,4) \to 6$
• $(2,5) \to 7$
• $(3,4) \to 7$
• $(3,5) \to 8$
• $(4,5) \to 9$

全部で10通りです。

【ステップ2】平均を求める
$$\bar{x} = \dfrac{3+4+5+6+5+6+7+7+8+9}{10} = \dfrac{60}{10} = 6$$

解答: 極大値 2（$x=0$）、極小値 $-2$（$x=2$）

【ステップ1】微分する
$y = x^3 – 3x^2 + 2$
$y’ = 3x^2 – 6x$

【ステップ2】$y’ = 0$ を解く
$3x^2 – 6x = 0$
$3x(x – 2) = 0$
$x = 0$ または $x = 2$

【ステップ3】各点での$y$の値
• $x = 0$：$y = 0 – 0 + 2 = 2$（極大）
• $x = 2$：$y = 8 – 12 + 2 = -2$（極小）

【ポイント】$x^3$の係数がプラスなので、グラフは「左下から右上へ」の形。$x=0$で極大、$x=2$で極小になります。

解答: $\dfrac{11}{16}$

【余事象を使う】
「2回以上」の反対は「1回以下」= 「0回または1回」です。

【ステップ1】全体の場合の数
$2^4 = 16$ 通り

【ステップ2】0回または1回の場合の数
• 表が0回：全部裏 → 1通り
• 表が1回：どこか1つが表 → 4通り
合計：$1 + 4 = 5$ 通り

【ステップ3】2回以上の確率
$$P = 1 – \dfrac{5}{16} = \dfrac{16 – 5}{16} = \dfrac{11}{16}$$

解答: 4

【ステップ1】データを求める
• $2^0 = 1$
• $2^1 = 2$
• $2^2 = 4$
• $2^3 = 8$
• $2^4 = 16$

データ $= \{1, 2, 4, 8, 16\}$

【ステップ2】中央値を求める
5個のデータなので、真ん中は3番目。
$1, 2, \boxed{4}, 8, 16$

中央値 $= 4$

【まず方程式を解く】
$x^2 – 5x + 6 = 0$
因数分解：$(x – 2)(x – 3) = 0$
$x = 2$ または $x = 3$
よって $a = 2$、$b = 3$

【① $x = a$ での傾き】
$y = x^2 – 5x + 6$
$y’ = 2x – 5$
$x = 2$ のとき：$y’ = 2 \times 2 – 5 = 4 – 5 = -1$

【② 定積分】
$\int_2^3 (x^2 – 5x + 6) \, dx$
$= \left[\dfrac{x^3}{3} – \dfrac{5x^2}{2} + 6x\right]_2^3$

$x = 3$：$\dfrac{27}{3} – \dfrac{45}{2} + 18 = 9 – \dfrac{45}{2} + 18 = 27 – \dfrac{45}{2} = \dfrac{54 – 45}{2} = \dfrac{9}{2}$

$x = 2$：$\dfrac{8}{3} – \dfrac{20}{2} + 12 = \dfrac{8}{3} – 10 + 12 = \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{8 + 6}{3} = \dfrac{14}{3}$

$\dfrac{9}{2} – \dfrac{14}{3} = \dfrac{27}{6} – \dfrac{28}{6} = -\dfrac{1}{6}$

【③ 平均値】
データ $= \{2, 3, 2+3\} = \{2, 3, 5\}$
$$\bar{x} = \dfrac{2 + 3 + 5}{3} = \dfrac{10}{3}$$

【④ 確率】
サイコロで2または3が出る確率
$$P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$$