【解答】

(1) 累積分布関数（6点）

$Y = e^X$ より $X = \log Y$
$Y > 0$ に注意

$y > 0$ のとき： $$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^X \leq y) = P(X \leq \log y) = \Phi(\log y)$$
$y \leq 0$ のとき：$F_Y(y) = 0$

答： $$F_Y(y) = \begin{cases} \Phi(\log y) & (y > 0) \\ 0 & (y \leq 0) \end{cases}$$
採点：$\Phi(\log y)$ の形が出れば満点

(2) 確率密度関数（7点）

$y > 0$ のとき： $$f_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = \frac{d}{dy} \Phi(\log y) = \phi(\log y) \cdot \frac{1}{y}$$
$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)$ を代入： $$f_Y(y) = \frac{1}{y\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(\log y)^2}{2}\right)$$
答： $$f_Y(y) = \frac{1}{y\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(\log y)^2}{2}\right) \quad (y > 0)$$
これは対数正規分布 $\text{LogNormal}(0, 1)$

採点基準：微分の連鎖律を正しく適用（4点）、最終形が正しい（3点）

(3) 期待値（7点）

方法1：積率母関数
$X \sim N(0, 1)$ の積率母関数： $$M_X(t) = E[e^{tX}] = \exp\left(\frac{t^2}{2}\right)$$
$Y = e^X = e^{1 \cdot X}$ より： $$E[Y] = E[e^X] = M_X(1) = \exp\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{e}$$
方法2：直接計算
$u = \log y$ とおくと $y = e^u$, $dy = e^u du$
$$E[Y] = \int_0^\infty y \cdot f_Y(y) \, dy = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^u \exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) du$$ $$= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(u-1)^2 – 1}{2}\right) du = \exp\left(\frac{1}{2}\right) \cdot 1 = \sqrt{e}$$
答：$E[Y] = \sqrt{e} \approx 1.649$

採点基準：積率母関数を使用（満点）、直接積分で正答（満点）、途中まで正しい（部分点）

【解答】

(1) 確率密度関数（8点）

Step 1：累積分布関数
$0 < t < \theta$ のとき： $$F_T(t) = P(T \leq t) = P(\text{すべての } X_i \leq t) = [P(X \leq t)]^n$$
$X \sim U(0, \theta)$ より $P(X \leq t) = t/\theta$
したがって：$F_T(t) = (t/\theta)^n$

Step 2：確率密度関数 $$f_T(t) = \frac{dF_T(t)}{dt} = n \left(\frac{t}{\theta}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{\theta} = \frac{n t^{n-1}}{\theta^n}$$
答： $$f_T(t) = \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} \quad (0 < t < \theta)$$
採点基準：累積分布関数の導出（4点）、確率密度関数の導出（4点）

(2) 期待値（6点）
$$E[T] = \int_0^\theta t \cdot f_T(t) \, dt = \int_0^\theta t \cdot \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} \, dt = \frac{n}{\theta^n} \int_0^\theta t^n \, dt$$ $$= \frac{n}{\theta^n} \cdot \frac{\theta^{n+1}}{n+1} = \frac{n\theta}{n+1}$$
答：$E[T] = \frac{n\theta}{n+1}$

採点基準：積分の設定（2点）、計算過程（2点）、最終答（2点）

(3) 不偏推定量（6点）

$E[T] = \frac{n\theta}{n+1}$ より： $$E\left[\frac{n+1}{n} \cdot T\right] = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n\theta}{n+1} = \theta$$
答：$\theta$ の不偏推定量は $\hat{\theta} = \frac{n+1}{n} \cdot T = \frac{n+1}{n} \cdot \max\{X_1, \ldots, X_n\}$

検証： $$E[\hat{\theta}] = E\left[\frac{n+1}{n} \cdot T\right] = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n\theta}{n+1} = \theta \quad \checkmark$$
採点基準：不偏性の条件を理解（3点）、正しい推定量の導出（3点）

【解答】

(1) 仮説検定（10点）

Step 1：仮説の設定
$H_0: p = 0.05$
$H_1: p \neq 0.05$（両側検定）

Step 2：検定統計量
標本比率：$\hat{p} = X/n = 16/200 = 0.08$

$H_0$ の下で、正規近似により： $$\hat{p} \sim N\left(p_0, \frac{p_0(1-p_0)}{n}\right) = N\left(0.05, \frac{0.05 \times 0.95}{200}\right)$$
標準偏差： $$\sigma = \sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{200}} = \sqrt{0.0002375} \approx 0.0154$$
検定統計量： $$z = \frac{\hat{p} – p_0}{\sigma} = \frac{0.08 – 0.05}{0.0154} \approx 1.95$$
Step 3：棄却域
有意水準 $\alpha = 0.05$（両側検定）
棄却域：$|z| > z_{0.025} = 1.96$

Step 4：判定
$|z| = 1.95 < 1.96$

結論：$H_0$ を棄却できない
有意水準5%で、不良率が5%であるという仮説は棄却されない。

採点基準：仮説の設定（2点）、検定統計量の計算（4点）、判定と結論（4点）

(2) 信頼区間（10点）

点推定：$\hat{p} = 0.08$

標準誤差： $$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.08 \times 0.92}{200}} = \sqrt{0.000368} \approx 0.0192$$
95%信頼区間： $$\hat{p} \pm z_{0.025} \times SE = 0.08 \pm 1.96 \times 0.0192 = 0.08 \pm 0.0376$$ $$= (0.0424, 0.1176)$$
答：95%信頼区間は $(0.042, 0.118)$ または $(4.2\%, 11.8\%)$

解釈：
真の不良率は95%の信頼度で4.2%〜11.8%の範囲にある。5%もこの範囲に含まれるため、(1)の結果と整合的。

採点基準：標準誤差の計算（4点）、信頼区間の計算（4点）、解釈（2点）

【解答】

(1) 回帰係数（6点）

基本統計量の計算： $$S_{xx} = \sum x^2 – \frac{(\sum x)^2}{n} = 300 – \frac{50^2}{10} = 300 – 250 = 50$$ $$S_{xy} = \sum xy – \frac{(\sum x)(\sum y)}{n} = 3800 – \frac{50 \times 700}{10} = 3800 – 3500 = 300$$ $$S_{yy} = \sum y^2 – \frac{(\sum y)^2}{n} = 50500 – \frac{700^2}{10} = 50500 – 49000 = 1500$$
傾き： $$b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{300}{50} = 6$$
切片： $$a = \bar{y} – b \cdot \bar{x} = 70 – 6 \times 5 = 40$$
答：$\hat{y} = 40 + 6x$

採点基準：$S_{xx}$, $S_{xy}$ の計算（3点）、$b$, $a$ の計算（3点）

(2) 決定係数（7点）
$$R^2 = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx} \cdot S_{yy}} = \frac{300^2}{50 \times 1500} = \frac{90000}{75000} = 0.80$$
答：$R^2 = 0.80$

解釈：得点の変動の80%が勉強時間によって説明される。

採点基準：$R^2$ の計算式（3点）、数値計算（3点）、解釈（1点）

(3) 回帰係数の検定（7点）

仮説：
$H_0: \beta = 0$
$H_1: \beta \neq 0$

残差分散： $$s^2 = \frac{S_{yy} – b \cdot S_{xy}}{n-2} = \frac{1500 – 6 \times 300}{8} = \frac{1500 – 1800}{8}$$
※計算結果が負になるため、データを確認すると $S_{yy} = 1500$, $b \cdot S_{xy} = 1800$ で矛盾。
正しくは $b \cdot S_{xy} = 6 \times 300 = 1800$ だが、これは $S_{yy}$ を超えており、データに問題があります。

修正データ（$S_{yy} = 2000$ と仮定）で再計算： $$s^2 = \frac{2000 – 1800}{8} = \frac{200}{8} = 25, \quad s = 5$$
標準誤差： $$SE(b) = \frac{s}{\sqrt{S_{xx}}} = \frac{5}{\sqrt{50}} \approx 0.707$$
検定統計量： $$t = \frac{b}{SE(b)} = \frac{6}{0.707} \approx 8.49$$
判定：
$|t| = 8.49 > t_8(0.025) = 2.306$

結論：$H_0$ を棄却
回帰係数は有意に0と異なる。勉強時間は得点に有意な影響を与える。

採点基準：仮説設定（1点）、残差分散の計算（3点）、検定統計量の計算（2点）、判定（1点）

【解答】

(1) 分散分析表（10点）

基本情報：
$a = 3$（群数）, $n = 4$（各群のサイズ）, $N = 12$（総数）

修正項： $$CF = \frac{T^2}{N} = \frac{960^2}{12} = \frac{921600}{12} = 76800$$
総平方和： $$S_T = \sum\sum x_{ij}^2 – CF = 77600 – 76800 = 800$$
群間平方和： $$S_A = \left(\frac{T_A^2}{n} + \frac{T_B^2}{n} + \frac{T_C^2}{n}\right) – CF$$ $$= \left(\frac{320^2}{4} + \frac{300^2}{4} + \frac{340^2}{4}\right) – 76800$$ $$= (25600 + 22500 + 28900) – 76800 = 77000 – 76800 = 200$$
群内平方和： $$S_E = S_T – S_A = 800 – 200 = 600$$
自由度：
$\phi_A = a – 1 = 2$, $\phi_E = N – a = 9$, $\phi_T = N – 1 = 11$

平均平方： $$V_A = \frac{S_A}{\phi_A} = \frac{200}{2} = 100, \quad V_E = \frac{S_E}{\phi_E} = \frac{600}{9} \approx 66.67$$
$F$ 統計量： $$F = \frac{V_A}{V_E} = \frac{100}{66.67} = 1.50$$
分散分析表：

要因	SS	df	MS	$F$
群間	200	2	100.0	1.50
群内	600	9	66.67
総和	800	11

採点基準：$CF$, $S_T$, $S_A$, $S_E$ の計算（各2点、計8点）、自由度と平均平方（2点）

(2) $F$ 検定（5点）

仮説：
$H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C$
$H_1:$ 少なくとも1組に差がある

検定統計量：$F = 1.50$
臨界値：$F_{2,9}(0.05) = 4.26$

判定：$F = 1.50 < 4.26$

結論：$H_0$ を棄却できない
有意水準5%で、教授法間に有意な差は認められない。

採点基準：仮説設定（1点）、判定（2点）、結論（2点）

(3) テューキー法（5点）

群平均：
$\bar{X}_A = 320/4 = 80$, $\bar{X}_B = 300/4 = 75$, $\bar{X}_C = 340/4 = 85$

AとCの差： $$|\bar{X}_C – \bar{X}_A| = |85 – 80| = 5$$
テューキーの臨界値： $$HSD = q_{3,9}(0.05) \times \sqrt{\frac{MS_E}{n}} = 3.95 \times \sqrt{\frac{66.67}{4}} = 3.95 \times 4.08 \approx 16.1$$
判定：$|\bar{X}_C – \bar{X}_A| = 5 < 16.1$

結論：教授法AとCの間に有意差は認められない。

全体の結論：
$F$ 検定で有意でないため、多重比較を行う必要はなかったが、実施した結果、やはり有意差は見られなかった。

採点基準：群平均の計算（1点）、HSD の計算（2点）、判定と結論（2点）