Step 2b: 高校数学の完成(数列・ベクトル)
数列の和、Σ計算、極限の基礎、ベクトルの基本演算を習得します
📚 このステップで学ぶこと
統計学準1級レベルでは、期待値や分散の計算にΣ記号が頻繁に使われます。また、数列の極限は大数の法則や中心極限定理の理解に不可欠です。このステップでは、これらの基礎を固め、数理統計学の理論を学ぶ準備を整えます。
🎯 なぜこれらを学ぶのか？
- Σ記号：期待値 $E[X] = \sum x_i p_i$、分散 $V[X] = \sum (x_i – \mu)^2 p_i$ の計算に必須
- 数列の極限：大数の法則「$n \to \infty$ で標本平均 → 母平均」の理解に必要
- ベクトル：多変量解析、回帰分析で「データを空間上の点」として扱う
- 内積：相関係数の幾何学的意味（2つのベクトルのなす角）に関連
1. 数列の一般項と和
1.1 数列とは
数列とは、規則に従って並べられた数の列のことです。
📖 数列の表し方
数列は、各項を $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ と表します。
第 $n$ 項 $a_n$ を「一般項」といいます。
例：
$2, 4, 6, 8, \ldots$ という数列 → 一般項は $a_n = 2n$
$1, 4, 9, 16, \ldots$ という数列 → 一般項は $a_n = n^2$
数列は、各項を $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ と表します。
第 $n$ 項 $a_n$ を「一般項」といいます。
例：
$2, 4, 6, 8, \ldots$ という数列 → 一般項は $a_n = 2n$
$1, 4, 9, 16, \ldots$ という数列 → 一般項は $a_n = n^2$
1.2 等差数列
隣り合う項の差が一定の数列を等差数列といいます。
📖 等差数列とは
「次の項 = 前の項 + 一定の値」という規則で並ぶ数列
例：
$3, 7, 11, 15, 19, \ldots$（公差 $d = 4$）
$10, 7, 4, 1, -2, \ldots$（公差 $d = -3$）
「次の項 = 前の項 + 一定の値」という規則で並ぶ数列
例：
$3, 7, 11, 15, 19, \ldots$（公差 $d = 4$）
$10, 7, 4, 1, -2, \ldots$（公差 $d = -3$）
📐 等差数列の公式
初項 $a$、公差 $d$ の等差数列について：
① 一般項（第 $n$ 項）
$$a_n = a + (n-1)d$$ 【読み方】「第 $n$ 項は、初項に公差を $(n-1)$ 回足したもの」
② 初項から第 $n$ 項までの和
$$S_n = \frac{n(a + l)}{2} = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}$$ 【読み方】「項数 × (初項 + 末項) ÷ 2」
※ $l$ は末項（最後の項）
初項 $a$、公差 $d$ の等差数列について：
① 一般項（第 $n$ 項）
$$a_n = a + (n-1)d$$ 【読み方】「第 $n$ 項は、初項に公差を $(n-1)$ 回足したもの」
② 初項から第 $n$ 項までの和
$$S_n = \frac{n(a + l)}{2} = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}$$ 【読み方】「項数 × (初項 + 末項) ÷ 2」
※ $l$ は末項（最後の項）
💡 和の公式の覚え方
$1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ の計算を考えます。
ガウスの方法：
$(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \cdots$
$= 101 \times 50 = 5050$
つまり「(最初 + 最後) × 個数 ÷ 2」
$1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ の計算を考えます。
ガウスの方法：
$(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \cdots$
$= 101 \times 50 = 5050$
つまり「(最初 + 最後) × 個数 ÷ 2」
例題1：等差数列
問題：初項が3、公差が5の等差数列について
(1) 第10項を求めよ
(2) 初項から第10項までの和を求めよ
解答：
(1) 第10項
【Step 1】一般項の公式を確認
$a_n = a + (n-1)d$
【Step 2】値を代入（$a = 3$, $d = 5$, $n = 10$）
$$a_{10} = 3 + (10-1) \times 5$$
【Step 3】計算
$$= 3 + 9 \times 5 = 3 + 45 = 48$$
(2) 初項から第10項までの和
【Step 1】和の公式を使う（初項と末項がわかっている場合）
$$S_n = \frac{n(a + l)}{2}$$
【Step 2】値を代入（$n = 10$, $a = 3$, $l = 48$）
$$S_{10} = \frac{10 \times (3 + 48)}{2}$$
【Step 3】計算
$$= \frac{10 \times 51}{2} = \frac{510}{2} = 255$$
(1) 第10項
【Step 1】一般項の公式を確認
$a_n = a + (n-1)d$
【Step 2】値を代入（$a = 3$, $d = 5$, $n = 10$）
$$a_{10} = 3 + (10-1) \times 5$$
【Step 3】計算
$$= 3 + 9 \times 5 = 3 + 45 = 48$$
(2) 初項から第10項までの和
【Step 1】和の公式を使う（初項と末項がわかっている場合）
$$S_n = \frac{n(a + l)}{2}$$
【Step 2】値を代入（$n = 10$, $a = 3$, $l = 48$）
$$S_{10} = \frac{10 \times (3 + 48)}{2}$$
【Step 3】計算
$$= \frac{10 \times 51}{2} = \frac{510}{2} = 255$$
1.3 等比数列
隣り合う項の比が一定の数列を等比数列といいます。
📖 等比数列とは
「次の項 = 前の項 × 一定の値」という規則で並ぶ数列
例：
$2, 6, 18, 54, \ldots$（公比 $r = 3$）
$16, 8, 4, 2, 1, \ldots$（公比 $r = \frac{1}{2}$）
「次の項 = 前の項 × 一定の値」という規則で並ぶ数列
例：
$2, 6, 18, 54, \ldots$（公比 $r = 3$）
$16, 8, 4, 2, 1, \ldots$（公比 $r = \frac{1}{2}$）
📐 等比数列の公式
初項 $a$、公比 $r$ の等比数列について：
① 一般項（第 $n$ 項）
$$a_n = a \cdot r^{n-1}$$ 【読み方】「第 $n$ 項は、初項に公比を $(n-1)$ 回かけたもの」
② 初項から第 $n$ 項までの和（$r \neq 1$ のとき）
$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
初項 $a$、公比 $r$ の等比数列について：
① 一般項（第 $n$ 項）
$$a_n = a \cdot r^{n-1}$$ 【読み方】「第 $n$ 項は、初項に公比を $(n-1)$ 回かけたもの」
② 初項から第 $n$ 項までの和（$r \neq 1$ のとき）
$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
例題2：等比数列
問題：初項が2、公比が3の等比数列について
(1) 第5項を求めよ
(2) 初項から第5項までの和を求めよ
解答：
(1) 第5項
【Step 1】一般項の公式を確認
$a_n = a \cdot r^{n-1}$
【Step 2】値を代入（$a = 2$, $r = 3$, $n = 5$）
$$a_5 = 2 \times 3^{5-1} = 2 \times 3^4$$
【Step 3】計算
$$= 2 \times 81 = 162$$
(2) 初項から第5項までの和
【Step 1】和の公式を使う
$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
【Step 2】値を代入（$a = 2$, $r = 3$, $n = 5$）
$$S_5 = \frac{2(1-3^5)}{1-3} = \frac{2(1-243)}{-2}$$
【Step 3】計算
$$= \frac{2 \times (-242)}{-2} = \frac{-484}{-2} = 242$$
(1) 第5項
【Step 1】一般項の公式を確認
$a_n = a \cdot r^{n-1}$
【Step 2】値を代入（$a = 2$, $r = 3$, $n = 5$）
$$a_5 = 2 \times 3^{5-1} = 2 \times 3^4$$
【Step 3】計算
$$= 2 \times 81 = 162$$
(2) 初項から第5項までの和
【Step 1】和の公式を使う
$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
【Step 2】値を代入（$a = 2$, $r = 3$, $n = 5$）
$$S_5 = \frac{2(1-3^5)}{1-3} = \frac{2(1-243)}{-2}$$
【Step 3】計算
$$= \frac{2 \times (-242)}{-2} = \frac{-484}{-2} = 242$$
2. Σ記号の計算
2.1 Σ記号とは
Σ（シグマ）は「和」を表す記号で、統計学で最も重要な記号の一つです。
📖 Σ記号の意味
$$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$ 【読み方】「シグマ、$k$ は1から $n$ まで、$a_k$」
各部分の意味：
$$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$$ 【読み方】「シグマ、$k$ は1から $n$ まで、$a_k$」
各部分の意味：
- $\sum$：「全部足し合わせる」という意味
- $k=1$（下側）：「$k$ は1から始まる」
- $n$（上側）：「$k$ は $n$ で終わる」
- $a_k$：「各項の式」
💡 Σを展開してみよう
$$\sum_{k=1}^{5} k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$ $$\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$$ $$\sum_{k=1}^{3} 2k = 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 = 2 + 4 + 6 = 12$$
$$\sum_{k=1}^{5} k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$ $$\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$$ $$\sum_{k=1}^{3} 2k = 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 = 2 + 4 + 6 = 12$$
2.2 Σの基本公式
これらの公式は統計学で頻繁に使うので、必ず覚えましょう。
⭐ 重要なΣの公式
① 定数の和
$$\sum_{k=1}^{n} c = nc$$ 【意味】定数 $c$ を $n$ 回足すと $nc$
② 自然数の和
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$ 【覚え方】$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
③ 自然数の2乗の和
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
④ 自然数の3乗の和
$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$ 【ポイント】3乗の和 = (1乗の和)$^2$
① 定数の和
$$\sum_{k=1}^{n} c = nc$$ 【意味】定数 $c$ を $n$ 回足すと $nc$
② 自然数の和
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$ 【覚え方】$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
③ 自然数の2乗の和
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
④ 自然数の3乗の和
$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$ 【ポイント】3乗の和 = (1乗の和)$^2$
例題3：Σの計算
問題：次の和を求めよ。
(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k$
(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2$
解答：
(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k$
【Step 1】公式を確認
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
【Step 2】$n = 10$ を代入
$$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$$
(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2$
【Step 1】公式を確認
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
【Step 2】$n = 5$ を代入
$$\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$
(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k$
【Step 1】公式を確認
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
【Step 2】$n = 10$ を代入
$$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$$
(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2$
【Step 1】公式を確認
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
【Step 2】$n = 5$ を代入
$$\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$
2.3 Σの性質
Σには計算を楽にする重要な性質があります。
📐 Σの計算法則
① 定数倍を外に出せる
$$\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k$$
② 和を分解できる
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$$
③ 差も分解できる
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k – b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k – \sum_{k=1}^{n} b_k$$
① 定数倍を外に出せる
$$\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k$$
② 和を分解できる
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$$
③ 差も分解できる
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k – b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k – \sum_{k=1}^{n} b_k$$
例題4：Σの応用
問題：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (3k + 2)$ を計算せよ。
解答：
【Step 1】Σを分解する（和を分ける）
$$\sum_{k=1}^{n} (3k + 2) = \sum_{k=1}^{n} 3k + \sum_{k=1}^{n} 2$$
【Step 2】定数倍を外に出す
$$= 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2$$
【Step 3】公式を適用
$$= 3 \times \frac{n(n+1)}{2} + 2n$$
【Step 4】整理
$$= \frac{3n(n+1)}{2} + 2n$$ $$= \frac{3n(n+1) + 4n}{2}$$ $$= \frac{3n^2 + 3n + 4n}{2}$$ $$= \frac{3n^2 + 7n}{2}$$
【Step 1】Σを分解する（和を分ける）
$$\sum_{k=1}^{n} (3k + 2) = \sum_{k=1}^{n} 3k + \sum_{k=1}^{n} 2$$
【Step 2】定数倍を外に出す
$$= 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2$$
【Step 3】公式を適用
$$= 3 \times \frac{n(n+1)}{2} + 2n$$
【Step 4】整理
$$= \frac{3n(n+1)}{2} + 2n$$ $$= \frac{3n(n+1) + 4n}{2}$$ $$= \frac{3n^2 + 3n + 4n}{2}$$ $$= \frac{3n^2 + 7n}{2}$$
⭐ 統計学での Σ の使い方
平均（標本平均）：
$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$
分散（標本分散）：
$$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2$$
期待値（離散確率変数）：
$$E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$$
平均（標本平均）：
$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$
分散（標本分散）：
$$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2$$
期待値（離散確率変数）：
$$E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$$
3. 数列の極限
3.1 数列の極限とは
数列 $\{a_n\}$ において、$n$ を限りなく大きくしたときの $a_n$ の値を極限といいます。
📖 極限の記号
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$$ 【読み方】「リミット、$n$ を無限大に近づけると、$a_n$ は $\alpha$ に近づく」
例：
$a_n = \dfrac{1}{n}$ のとき、$n$ が大きくなると $a_n$ は0に近づく
$n = 1 \to a_1 = 1$
$n = 10 \to a_{10} = 0.1$
$n = 100 \to a_{100} = 0.01$
$n = 1000 \to a_{1000} = 0.001$
$\vdots$
よって $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$$ 【読み方】「リミット、$n$ を無限大に近づけると、$a_n$ は $\alpha$ に近づく」
例：
$a_n = \dfrac{1}{n}$ のとき、$n$ が大きくなると $a_n$ は0に近づく
$n = 1 \to a_1 = 1$
$n = 10 \to a_{10} = 0.1$
$n = 100 \to a_{100} = 0.01$
$n = 1000 \to a_{1000} = 0.001$
$\vdots$
よって $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
3.2 基本的な極限
📐 よく使う極限
① $\dfrac{1}{n}$ 型
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{c}{n^k} = 0 \quad (k > 0)$$
② 定数
$$\lim_{n \to \infty} c = c$$
③ 等比数列型
$|r| < 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0$
$r = 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 1$
$r > 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$（発散）
① $\dfrac{1}{n}$ 型
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{c}{n^k} = 0 \quad (k > 0)$$
② 定数
$$\lim_{n \to \infty} c = c$$
③ 等比数列型
$|r| < 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0$
$r = 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 1$
$r > 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$（発散）
3.3 分数式の極限
分子と分母が多項式の場合、最高次の項で割るのがコツです。
💡 分数式の極限の解き方
基本テクニック：分子・分母を「最高次の項」で割る
例：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n}{n^2 + 5}$
分子・分母を $n^2$ で割ると：
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{5}{n^2}}$$
$n \to \infty$ で $\frac{2}{n} \to 0$、$\frac{5}{n^2} \to 0$ だから：
$$= \frac{3 + 0}{1 + 0} = 3$$
基本テクニック：分子・分母を「最高次の項」で割る
例：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n}{n^2 + 5}$
分子・分母を $n^2$ で割ると：
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{5}{n^2}}$$
$n \to \infty$ で $\frac{2}{n} \to 0$、$\frac{5}{n^2} \to 0$ だから：
$$= \frac{3 + 0}{1 + 0} = 3$$
例題5：数列の極限
問題：次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3}{n + 1}$
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2}$
解答：
(1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3}{n + 1}$
【Step 1】最高次は $n$ なので、分子・分母を $n$ で割る
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n + 3}{n}}{\frac{n + 1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$$
【Step 2】$n \to \infty$ で $\frac{3}{n} \to 0$、$\frac{1}{n} \to 0$
$$= \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2$$
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2}$
【Step 1】最高次は $n^2$ なので、分子・分母を $n^2$ で割る
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{2}$$
【Step 2】$n \to \infty$ で $\frac{1}{n^2} \to 0$
$$= \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$$
(1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3}{n + 1}$
【Step 1】最高次は $n$ なので、分子・分母を $n$ で割る
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n + 3}{n}}{\frac{n + 1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$$
【Step 2】$n \to \infty$ で $\frac{3}{n} \to 0$、$\frac{1}{n} \to 0$
$$= \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2$$
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2}$
【Step 1】最高次は $n^2$ なので、分子・分母を $n^2$ で割る
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{2}$$
【Step 2】$n \to \infty$ で $\frac{1}{n^2} \to 0$
$$= \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$$
3.4 無限級数
数列の項を無限に足し合わせたものを無限級数といいます。
⭐ 無限等比級数の和
$|r| < 1$ のとき、無限等比級数は収束し：
$$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$$
【意味】
$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = \dfrac{a}{1-r}$
$|r| \geq 1$ のときは発散（和が定まらない）
$|r| < 1$ のとき、無限等比級数は収束し：
$$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$$
【意味】
$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = \dfrac{a}{1-r}$
$|r| \geq 1$ のときは発散（和が定まらない）
例題6：無限級数
問題：$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ の和を求めよ。
解答：
【Step 1】初項と公比を確認
初項 $a = 1$
公比 $r = \frac{1}{2}$（各項を次の項で割ると $\frac{1}{2}$）
【Step 2】収束条件を確認
$|r| = \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1$ ✓ 収束する
【Step 3】公式を適用
$$\text{和} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$
【Step 1】初項と公比を確認
初項 $a = 1$
公比 $r = \frac{1}{2}$（各項を次の項で割ると $\frac{1}{2}$）
【Step 2】収束条件を確認
$|r| = \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1$ ✓ 収束する
【Step 3】公式を適用
$$\text{和} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$
💡 統計学での極限の使い方
大数の法則：
標本平均 $\bar{X}_n$ について
$$\lim_{n \to \infty} \bar{X}_n = \mu \quad \text{（確率収束）}$$ 「サンプルサイズを大きくすると、標本平均は母平均に近づく」
中心極限定理：
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\bar{X}_n – \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z\right) = \Phi(z)$$ 「サンプルサイズが大きくなると、標本平均は正規分布に近づく」
大数の法則：
標本平均 $\bar{X}_n$ について
$$\lim_{n \to \infty} \bar{X}_n = \mu \quad \text{（確率収束）}$$ 「サンプルサイズを大きくすると、標本平均は母平均に近づく」
中心極限定理：
$$\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\bar{X}_n – \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z\right) = \Phi(z)$$ 「サンプルサイズが大きくなると、標本平均は正規分布に近づく」
4. ベクトルの基本
4.1 ベクトルとは
ベクトルとは、大きさと向きを持つ量です。統計学では、データを多次元空間の点として扱うときにベクトルの概念を使います。
📖 ベクトルの表し方
ベクトルは矢印で表し、太字または矢印つきで書きます：
$\vec{a}$ または $\mathbf{a}$
成分表示：
2次元：$\vec{a} = (a_1, a_2)$
3次元：$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$
$n$ 次元：$\vec{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$
統計学では：
$n$ 個のデータを「$n$ 次元空間の1点」として扱う
ベクトルは矢印で表し、太字または矢印つきで書きます：
$\vec{a}$ または $\mathbf{a}$
成分表示：
2次元：$\vec{a} = (a_1, a_2)$
3次元：$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$
$n$ 次元：$\vec{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$
統計学では：
$n$ 個のデータを「$n$ 次元空間の1点」として扱う
4.2 ベクトルの演算
📐 ベクトルの基本演算
$\vec{a} = (a_1, a_2)$、$\vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき：
① 和
$$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$ 【意味】成分ごとに足す
② 差
$$\vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)$$ 【意味】成分ごとに引く
③ 実数倍（スカラー倍）
$$k\vec{a} = (ka_1, ka_2)$$ 【意味】各成分を $k$ 倍
④ 大きさ（ノルム）
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$ 【意味】ピタゴラスの定理から導かれる「長さ」
$\vec{a} = (a_1, a_2)$、$\vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき：
① 和
$$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$$ 【意味】成分ごとに足す
② 差
$$\vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)$$ 【意味】成分ごとに引く
③ 実数倍（スカラー倍）
$$k\vec{a} = (ka_1, ka_2)$$ 【意味】各成分を $k$ 倍
④ 大きさ（ノルム）
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$ 【意味】ピタゴラスの定理から導かれる「長さ」
例題7：ベクトルの計算
問題：$\vec{a} = (3, 4)$、$\vec{b} = (1, 2)$ のとき、次を求めよ。
(1) $\vec{a} + \vec{b}$
(2) $2\vec{a} – \vec{b}$
(3) $|\vec{a}|$
解答：
(1) $\vec{a} + \vec{b}$
【Step 1】成分ごとに足す
$$\vec{a} + \vec{b} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)$$
(2) $2\vec{a} – \vec{b}$
【Step 1】$2\vec{a}$ を計算
$2\vec{a} = 2(3, 4) = (6, 8)$
【Step 2】$\vec{b}$ を引く
$$2\vec{a} – \vec{b} = (6, 8) – (1, 2) = (6 – 1, 8 – 2) = (5, 6)$$
(3) $|\vec{a}|$
【Step 1】大きさの公式を適用
$$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
(1) $\vec{a} + \vec{b}$
【Step 1】成分ごとに足す
$$\vec{a} + \vec{b} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)$$
(2) $2\vec{a} – \vec{b}$
【Step 1】$2\vec{a}$ を計算
$2\vec{a} = 2(3, 4) = (6, 8)$
【Step 2】$\vec{b}$ を引く
$$2\vec{a} – \vec{b} = (6, 8) – (1, 2) = (6 – 1, 8 – 2) = (5, 6)$$
(3) $|\vec{a}|$
【Step 1】大きさの公式を適用
$$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
4.3 内積
2つのベクトルの内積は、統計学で相関や射影を表すときに使います。
📖 内積の定義
成分による定義：
$\vec{a} = (a_1, a_2)$、$\vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$
角度による定義：
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
成分による定義：
$\vec{a} = (a_1, a_2)$、$\vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$
角度による定義：
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$
💡 内積の意味
内積は「2つのベクトルがどれくらい同じ方向を向いているか」を表します。
内積は「2つのベクトルがどれくらい同じ方向を向いているか」を表します。
- $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$：鋭角（同じ方向寄り）
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$：直角（垂直）
- $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$：鈍角（逆方向寄り）
例題8：内積の計算
問題：$\vec{a} = (2, 3)$、$\vec{b} = (4, -1)$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。
解答：
【Step 1】内積の公式を確認
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$
【Step 2】成分を代入
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 4 + 3 \times (-1)$$
【Step 3】計算
$$= 8 – 3 = 5$$
【Step 1】内積の公式を確認
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$
【Step 2】成分を代入
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 4 + 3 \times (-1)$$
【Step 3】計算
$$= 8 – 3 = 5$$
4.4 ベクトルの直交
⭐ ベクトルが直交する条件
2つのベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ が直交する（垂直である）
$$\Longleftrightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$
【意味】
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ で、$\theta = 90°$ なら $\cos 90° = 0$
2つのベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ が直交する（垂直である）
$$\Longleftrightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$
【意味】
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ で、$\theta = 90°$ なら $\cos 90° = 0$
例題9：直交条件
問題：$\vec{a} = (2, k)$、$\vec{b} = (3, -2)$ が直交するとき、$k$ の値を求めよ。
解答：
【Step 1】直交条件を書く
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
【Step 2】内積を計算
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 + k \times (-2) = 6 – 2k$$
【Step 3】$= 0$ として解く
$$6 – 2k = 0$$ $$2k = 6$$ $$k = 3$$
【Step 1】直交条件を書く
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
【Step 2】内積を計算
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 + k \times (-2) = 6 – 2k$$
【Step 3】$= 0$ として解く
$$6 – 2k = 0$$ $$2k = 6$$ $$k = 3$$
💡 統計学での内積の意味
データ $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)$ と $\mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_n)$ について
相関係数と内積の関係：
偏差ベクトル $\tilde{\mathbf{x}} = (x_1 – \bar{x}, \ldots, x_n – \bar{x})$ を考えると
$$r = \frac{\tilde{\mathbf{x}} \cdot \tilde{\mathbf{y}}}{|\tilde{\mathbf{x}}||\tilde{\mathbf{y}}|} = \cos\theta$$ つまり、相関係数は2つの偏差ベクトルのなす角の余弦！
データ $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)$ と $\mathbf{y} = (y_1, \ldots, y_n)$ について
相関係数と内積の関係：
偏差ベクトル $\tilde{\mathbf{x}} = (x_1 – \bar{x}, \ldots, x_n – \bar{x})$ を考えると
$$r = \frac{\tilde{\mathbf{x}} \cdot \tilde{\mathbf{y}}}{|\tilde{\mathbf{x}}||\tilde{\mathbf{y}}|} = \cos\theta$$ つまり、相関係数は2つの偏差ベクトルのなす角の余弦！
📝 練習問題
問題 1
等差数列の一般項
初項が5、公差が $-2$ の等差数列の第20項を求めよ。
解答：
【Step 1】一般項の公式を確認
$a_n = a + (n-1)d$
【Step 2】$a = 5$, $d = -2$, $n = 20$ を代入
$$a_{20} = 5 + (20-1) \times (-2)$$ $$= 5 + 19 \times (-2)$$ $$= 5 – 38 = -33$$
【Step 1】一般項の公式を確認
$a_n = a + (n-1)d$
【Step 2】$a = 5$, $d = -2$, $n = 20$ を代入
$$a_{20} = 5 + (20-1) \times (-2)$$ $$= 5 + 19 \times (-2)$$ $$= 5 – 38 = -33$$
問題 2
等差数列の和
$1 + 4 + 7 + 10 + \cdots + 100$ の和を求めよ。
解答：
【Step 1】数列の情報を整理
初項 $a = 1$、公差 $d = 3$、末項 $l = 100$
【Step 2】項数 $n$ を求める
$a_n = a + (n-1)d$ より
$100 = 1 + (n-1) \times 3$
$99 = 3(n-1)$
$n – 1 = 33$
$n = 34$
【Step 3】和の公式を適用
$$S_{34} = \frac{34 \times (1 + 100)}{2} = \frac{34 \times 101}{2} = \frac{3434}{2} = 1717$$
【Step 1】数列の情報を整理
初項 $a = 1$、公差 $d = 3$、末項 $l = 100$
【Step 2】項数 $n$ を求める
$a_n = a + (n-1)d$ より
$100 = 1 + (n-1) \times 3$
$99 = 3(n-1)$
$n – 1 = 33$
$n = 34$
【Step 3】和の公式を適用
$$S_{34} = \frac{34 \times (1 + 100)}{2} = \frac{34 \times 101}{2} = \frac{3434}{2} = 1717$$
問題 3
等比数列の一般項
初項が3、公比が2の等比数列の第7項を求めよ。
解答：
【Step 1】一般項の公式を確認
$a_n = a \cdot r^{n-1}$
【Step 2】$a = 3$, $r = 2$, $n = 7$ を代入
$$a_7 = 3 \times 2^{7-1} = 3 \times 2^6 = 3 \times 64 = 192$$
【Step 1】一般項の公式を確認
$a_n = a \cdot r^{n-1}$
【Step 2】$a = 3$, $r = 2$, $n = 7$ を代入
$$a_7 = 3 \times 2^{7-1} = 3 \times 2^6 = 3 \times 64 = 192$$
問題 4
等比数列の和
$2 + 6 + 18 + 54 + 162$ の和を求めよ。
解答：
【Step 1】数列の情報を整理
初項 $a = 2$、公比 $r = 3$、項数 $n = 5$
【Step 2】和の公式を適用
$$S_5 = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{2(1-3^5)}{1-3}$$
【Step 3】計算
$$= \frac{2(1-243)}{-2} = \frac{2 \times (-242)}{-2} = 242$$
【Step 1】数列の情報を整理
初項 $a = 2$、公比 $r = 3$、項数 $n = 5$
【Step 2】和の公式を適用
$$S_5 = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{2(1-3^5)}{1-3}$$
【Step 3】計算
$$= \frac{2(1-243)}{-2} = \frac{2 \times (-242)}{-2} = 242$$
問題 5
Σの計算（基本）
$\displaystyle\sum_{k=1}^{20} k$ を求めよ。
解答：
公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ より
$$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \times 21}{2} = \frac{420}{2} = 210$$
公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ より
$$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \times 21}{2} = \frac{420}{2} = 210$$
問題 6
Σの計算（二乗）
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2$ を求めよ。
解答：
公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より
$$\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$$
公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より
$$\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$$
問題 7
Σの計算（応用）
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k – 1)$ を計算せよ。
解答：
【Step 1】Σを分解する
$$\sum_{k=1}^{n} (2k – 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k – \sum_{k=1}^{n} 1$$
【Step 2】公式を適用
$$= 2 \times \frac{n(n+1)}{2} – n$$
【Step 3】整理
$$= n(n+1) – n = n^2 + n – n = n^2$$
【補足】これは「奇数の和」で、$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$ という有名な公式です。
【Step 1】Σを分解する
$$\sum_{k=1}^{n} (2k – 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k – \sum_{k=1}^{n} 1$$
【Step 2】公式を適用
$$= 2 \times \frac{n(n+1)}{2} – n$$
【Step 3】整理
$$= n(n+1) – n = n^2 + n – n = n^2$$
【補足】これは「奇数の和」で、$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$ という有名な公式です。
問題 8
Σの計算（定数倍）
$\displaystyle\sum_{k=1}^{50} 5$ を求めよ。
解答：
公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = nc$ より
$$\sum_{k=1}^{50} 5 = 5 \times 50 = 250$$
【意味】「5を50回足す」= $5 + 5 + \cdots + 5$ (50個) = 250
公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = nc$ より
$$\sum_{k=1}^{50} 5 = 5 \times 50 = 250$$
【意味】「5を50回足す」= $5 + 5 + \cdots + 5$ (50個) = 250
問題 9
数列の極限（基本）
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 2}{n}$ を求めよ。
解答：
【Step 1】分子を $n$ で割る
$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 2}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(3 + \frac{2}{n}\right)$$
【Step 2】$n \to \infty$ で $\frac{2}{n} \to 0$
$$= 3 + 0 = 3$$
【Step 1】分子を $n$ で割る
$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 2}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(3 + \frac{2}{n}\right)$$
【Step 2】$n \to \infty$ で $\frac{2}{n} \to 0$
$$= 3 + 0 = 3$$
問題 10
数列の極限（分数式）
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 – 3n + 1}{2n^2 + 5}$ を求めよ。
解答：
【Step 1】最高次は $n^2$ なので、分子・分母を $n^2$ で割る
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1 – \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}}$$
【Step 2】$n \to \infty$ で各項の極限
$\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{5}{n^2} \to 0$
【Step 3】計算
$$= \frac{1 – 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$$
【Step 1】最高次は $n^2$ なので、分子・分母を $n^2$ で割る
$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1 – \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}}$$
【Step 2】$n \to \infty$ で各項の極限
$\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{5}{n^2} \to 0$
【Step 3】計算
$$= \frac{1 – 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$$
問題 11
無限等比級数
$1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \cdots$ の和を求めよ。
解答：
【Step 1】初項と公比を確認
初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{3}$
【Step 2】収束条件を確認
$\left|\frac{1}{3}\right| < 1$ ✓ 収束する
【Step 3】公式を適用
$$\text{和} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$$
【Step 1】初項と公比を確認
初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{3}$
【Step 2】収束条件を確認
$\left|\frac{1}{3}\right| < 1$ ✓ 収束する
【Step 3】公式を適用
$$\text{和} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$$
問題 12
ベクトルの和
$\vec{a} = (2, -3)$、$\vec{b} = (-1, 5)$ のとき、$\vec{a} + \vec{b}$ を求めよ。
解答：
成分ごとに足して
$$\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), -3 + 5) = (1, 2)$$
成分ごとに足して
$$\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), -3 + 5) = (1, 2)$$
問題 13
ベクトルの実数倍
$\vec{a} = (4, -2)$ のとき、$3\vec{a}$ を求めよ。
解答：
各成分を3倍して
$$3\vec{a} = 3(4, -2) = (12, -6)$$
各成分を3倍して
$$3\vec{a} = 3(4, -2) = (12, -6)$$
問題 14
ベクトルの大きさ
$\vec{a} = (5, 12)$ の大きさ $|\vec{a}|$ を求めよ。
解答：
$$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
【補足】$(5, 12, 13)$ は有名なピタゴラス数です。
$$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
【補足】$(5, 12, 13)$ は有名なピタゴラス数です。
問題 15
内積の計算
$\vec{a} = (3, 4)$、$\vec{b} = (2, -3)$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。
解答：
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 2 + 4 \times (-3) = 6 – 12 = -6$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 2 + 4 \times (-3) = 6 – 12 = -6$$
問題 16
ベクトルの直交
$\vec{a} = (4, 3)$、$\vec{b} = (-3, k)$ が直交するとき、$k$ の値を求めよ。
解答：
【Step 1】直交条件 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ を使う
$$4 \times (-3) + 3 \times k = 0$$
【Step 2】解く
$$-12 + 3k = 0$$ $$3k = 12$$ $$k = 4$$
【Step 1】直交条件 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ を使う
$$4 \times (-3) + 3 \times k = 0$$
【Step 2】解く
$$-12 + 3k = 0$$ $$3k = 12$$ $$k = 4$$
問題 17
Σの応用（統計学）
データ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ の平均を $\bar{x}$ とする。$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (x_k – \bar{x})$ を簡単にせよ。
解答：
【Step 1】Σを分解する
$$\sum_{k=1}^{n} (x_k – \bar{x}) = \sum_{k=1}^{n} x_k – \sum_{k=1}^{n} \bar{x}$$
【Step 2】$\bar{x}$ は定数なので
$$= \sum_{k=1}^{n} x_k – n\bar{x}$$
【Step 3】$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_k$ より $\sum_{k=1}^{n} x_k = n\bar{x}$
$$= n\bar{x} – n\bar{x} = 0$$
【重要】偏差の和は常に0になります。これは統計学の基本性質です！
【Step 1】Σを分解する
$$\sum_{k=1}^{n} (x_k – \bar{x}) = \sum_{k=1}^{n} x_k – \sum_{k=1}^{n} \bar{x}$$
【Step 2】$\bar{x}$ は定数なので
$$= \sum_{k=1}^{n} x_k – n\bar{x}$$
【Step 3】$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_k$ より $\sum_{k=1}^{n} x_k = n\bar{x}$
$$= n\bar{x} – n\bar{x} = 0$$
【重要】偏差の和は常に0になります。これは統計学の基本性質です！
問題 18
極限の応用
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ であることを利用して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n$ を求めよ。
解答：
【Step 1】式を変形する
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left\{\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n/2}\right\}^2$$
【Step 2】$m = \frac{n}{2}$ とおく（$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$）
$$= \left\{\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right\}^2$$
【Step 3】公式を適用
$$= e^2$$
【Step 1】式を変形する
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left\{\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n/2}\right\}^2$$
【Step 2】$m = \frac{n}{2}$ とおく（$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$）
$$= \left\{\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right\}^2$$
【Step 3】公式を適用
$$= e^2$$
問題 19
ベクトルの成分
2点 $A(1, 3)$、$B(5, 7)$ について、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ を成分で表せ。
解答：
【ポイント】$\overrightarrow{AB} = (\text{Bの座標}) – (\text{Aの座標})$
$$\overrightarrow{AB} = (5 – 1, 7 – 3) = (4, 4)$$
【ポイント】$\overrightarrow{AB} = (\text{Bの座標}) – (\text{Aの座標})$
$$\overrightarrow{AB} = (5 – 1, 7 – 3) = (4, 4)$$
問題 20
総合問題
数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 3n$ で表されるとき、第10項 $a_{10}$ を求めよ。
解答：
【Step 1】$a_n$ と $S_n$ の関係
$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n – S_{n-1}$
【Step 2】$S_{10}$ と $S_9$ を計算
$S_{10} = 2 \times 10^2 + 3 \times 10 = 200 + 30 = 230$
$S_9 = 2 \times 9^2 + 3 \times 9 = 162 + 27 = 189$
【Step 3】$a_{10}$ を計算
$$a_{10} = S_{10} – S_9 = 230 – 189 = 41$$
【Step 1】$a_n$ と $S_n$ の関係
$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n – S_{n-1}$
【Step 2】$S_{10}$ と $S_9$ を計算
$S_{10} = 2 \times 10^2 + 3 \times 10 = 200 + 30 = 230$
$S_9 = 2 \times 9^2 + 3 \times 9 = 162 + 27 = 189$
【Step 3】$a_{10}$ を計算
$$a_{10} = S_{10} – S_9 = 230 – 189 = 41$$
📌 Step 2bのまとめ
- 等差数列の一般項 $a_n = a + (n-1)d$ と和の公式を理解した
- 等比数列の一般項 $a_n = ar^{n-1}$ と和の公式を理解した
- Σ記号の意味と基本公式 $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ を習得した
- 数列の極限と無限級数の概念を理解した
- ベクトルの基本演算（和・差・実数倍・内積）ができるようになった
- 統計学で重要な「偏差の和は0」を証明できた
学習メモ
統計検定準1級対策 - Step 2
📋 過去のメモ一覧
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