Step 2a: 高校数学の完成(指数・対数・三角関数)
数理統計学に必要な指数関数、対数関数、三角関数の性質と計算を習得します
📚 このステップで学ぶこと
統計学準1級レベルでは、確率密度関数や統計量の導出に指数関数・対数関数・三角関数が頻繁に登場します。このステップでは、これらの関数の性質を理解し、計算に慣れることで、数理統計学の理論を学ぶ準備を整えます。
🎯 なぜこれらの関数を学ぶのか？
- 指数関数 $e^x$：正規分布、ポアソン分布、指数分布など、ほぼすべての確率分布に登場
- 対数関数 $\ln x$：最尤推定法、対数尤度関数、情報量の計算に必須
- 三角関数：フーリエ変換、時系列解析、特性関数の計算に使用
1. 指数法則と指数関数
1.1 指数法則の基本
指数法則は、累乗の計算で最も基本的なルールです。まず「指数とは何か」から確認しましょう。
📖 指数の意味
$a^n$ は「$a$ を $n$ 回かけたもの」です。
例：
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$5^2 = 5 \times 5 = 25$
$a^n$ は「$a$ を $n$ 回かけたもの」です。
例：
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$5^2 = 5 \times 5 = 25$
では、指数法則を見ていきましょう。
📐 指数法則（$a > 0$ のとき）
① 同じ底の積
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ 【読み方】「$a$ の $m$ 乗かける $a$ の $n$ 乗は、$a$ の $(m+n)$ 乗」
② 同じ底の商
$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$ 【読み方】「$a$ の $m$ 乗わる $a$ の $n$ 乗は、$a$ の $(m-n)$ 乗」
③ 累乗の累乗
$$(a^m)^n = a^{mn}$$ 【読み方】「$a$ の $m$ 乗の $n$ 乗は、$a$ の $mn$ 乗」
④ 積の累乗
$$(ab)^n = a^n b^n$$
⑤ ゼロ乗
$$a^0 = 1$$ 【ポイント】どんな数も0乗すると1になる
⑥ 負の指数
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ 【読み方】「$a$ の $(-n)$ 乗は、$a$ の $n$ 乗分の1」
① 同じ底の積
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ 【読み方】「$a$ の $m$ 乗かける $a$ の $n$ 乗は、$a$ の $(m+n)$ 乗」
② 同じ底の商
$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$ 【読み方】「$a$ の $m$ 乗わる $a$ の $n$ 乗は、$a$ の $(m-n)$ 乗」
③ 累乗の累乗
$$(a^m)^n = a^{mn}$$ 【読み方】「$a$ の $m$ 乗の $n$ 乗は、$a$ の $mn$ 乗」
④ 積の累乗
$$(ab)^n = a^n b^n$$
⑤ ゼロ乗
$$a^0 = 1$$ 【ポイント】どんな数も0乗すると1になる
⑥ 負の指数
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ 【読み方】「$a$ の $(-n)$ 乗は、$a$ の $n$ 乗分の1」
💡 なぜ $a^0 = 1$ なのか？
これは指数法則から自然に導かれます。
$a^0 = 1$ の理由
指数法則②より：
$$a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0$$ 一方、同じ数を同じ数で割ると1なので：
$$a^n \div a^n = 1$$ したがって：
$$a^0 = 1$$
指数法則②より：
$$a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0$$ 一方、同じ数を同じ数で割ると1なので：
$$a^n \div a^n = 1$$ したがって：
$$a^0 = 1$$
例題1：指数法則の計算
問題：次の式を簡単にせよ。
(1) $2^3 \times 2^5$
(2) $(3^2)^4$
(3) $5^{-2}$
解答：
(1) $2^3 \times 2^5$
【Step 1】同じ底の積なので、指数法則①を使う
【Step 2】指数を足す：$3 + 5 = 8$
【Step 3】計算結果
$$2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$$
(2) $(3^2)^4$
【Step 1】累乗の累乗なので、指数法則③を使う
【Step 2】指数をかける：$2 \times 4 = 8$
【Step 3】計算結果
$$(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561$$
(3) $5^{-2}$
【Step 1】負の指数なので、指数法則⑥を使う
【Step 2】分数に変換
【Step 3】計算結果
$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04$$
(1) $2^3 \times 2^5$
【Step 1】同じ底の積なので、指数法則①を使う
【Step 2】指数を足す：$3 + 5 = 8$
【Step 3】計算結果
$$2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$$
(2) $(3^2)^4$
【Step 1】累乗の累乗なので、指数法則③を使う
【Step 2】指数をかける：$2 \times 4 = 8$
【Step 3】計算結果
$$(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561$$
(3) $5^{-2}$
【Step 1】負の指数なので、指数法則⑥を使う
【Step 2】分数に変換
【Step 3】計算結果
$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04$$
1.2 指数関数のグラフと性質
指数関数 $y = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）は、統計学で最も重要な関数の一つです。
📈 指数関数 $y = a^x$ の性質（$a > 1$ のとき）
- 定義域：すべての実数（$x$ はどんな値でもOK）
- 値域：$y > 0$（常に正、0や負にはならない）
- $y$ 切片：$(0, 1)$ を通る（$a^0 = 1$ だから）
- 増加関数：$x$ が増えると $y$ も増える
- 漸近線：$x \to -\infty$ のとき $y \to 0$（$x$軸に限りなく近づく）
🔍 グラフのイメージ
$y = 2^x$ のグラフを考えると：
→ 左に行くほど0に近づき、右に行くほど急激に増加する
$y = 2^x$ のグラフを考えると：
| $x$ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y = 2^x$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 4 | 8 |
→ 左に行くほど0に近づき、右に行くほど急激に増加する
1.3 自然対数の底 $e$
統計学で特に重要なのが、自然対数の底 $e$ です。
⭐ 自然対数の底 $e$
$$e = 2.71828182845…$$ $e$ は円周率 $\pi$ と同様に、無理数（割り切れない数）です。
なぜ $e$ が重要なのか？
$$e = 2.71828182845…$$ $e$ は円周率 $\pi$ と同様に、無理数（割り切れない数）です。
なぜ $e$ が重要なのか？
- $e^x$ を微分しても $e^x$（自分自身になる唯一の関数）
- 正規分布の確率密度関数：$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
- ポアソン分布の確率関数：$P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$
- 指数分布の確率密度関数：$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$
💡 $e$ の覚え方
「2.7 1828 1828 45…」
→ 2.7の後、1828が2回続く！
実用上は $e \approx 2.718$ で十分です。
「2.7 1828 1828 45…」
→ 2.7の後、1828が2回続く！
実用上は $e \approx 2.718$ で十分です。
2. 対数の性質と対数関数
2.1 対数の定義
対数は「指数の逆演算」です。つまり、「何乗したらその数になるか」を求める演算です。
📖 対数の定義
$a > 0, a \neq 1, M > 0$ のとき
$$a^p = M \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a M = p$$ 【読み方】
「$a$ の $p$ 乗が $M$ である」⇔「$a$ を底とする $M$ の対数は $p$」
言い換えると：
「$\log_a M$ は、$a$ を何乗したら $M$ になるか、その指数のこと」
$a > 0, a \neq 1, M > 0$ のとき
$$a^p = M \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a M = p$$ 【読み方】
「$a$ の $p$ 乗が $M$ である」⇔「$a$ を底とする $M$ の対数は $p$」
言い換えると：
「$\log_a M$ は、$a$ を何乗したら $M$ になるか、その指数のこと」
💡 対数を理解するコツ
$\log_2 8 = ?$ を求めるには：
「2を何乗したら8になるか？」と考える
$2^3 = 8$ だから、答えは $3$
$$\log_2 8 = 3$$
$\log_2 8 = ?$ を求めるには：
「2を何乗したら8になるか？」と考える
$2^3 = 8$ だから、答えは $3$
$$\log_2 8 = 3$$
例題2：対数の基本
問題：次の値を求めよ。
(1) $\log_2 8$
(2) $\log_{10} 100$
(3) $\log_3 \frac{1}{9}$
解答：
(1) $\log_2 8$
【考え方】2を何乗したら8になるか？
【Step 1】$2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$ ← これ！
【Step 2】$2^3 = 8$ より
$$\log_2 8 = 3$$
(2) $\log_{10} 100$
【考え方】10を何乗したら100になるか？
【Step 1】$10^1 = 10$, $10^2 = 100$ ← これ！
【Step 2】$10^2 = 100$ より
$$\log_{10} 100 = 2$$
(3) $\log_3 \frac{1}{9}$
【考え方】3を何乗したら $\frac{1}{9}$ になるか？
【Step 1】$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
【Step 2】$3^{-2} = \frac{1}{9}$ より
$$\log_3 \frac{1}{9} = -2$$
(1) $\log_2 8$
【考え方】2を何乗したら8になるか？
【Step 1】$2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$ ← これ！
【Step 2】$2^3 = 8$ より
$$\log_2 8 = 3$$
(2) $\log_{10} 100$
【考え方】10を何乗したら100になるか？
【Step 1】$10^1 = 10$, $10^2 = 100$ ← これ！
【Step 2】$10^2 = 100$ より
$$\log_{10} 100 = 2$$
(3) $\log_3 \frac{1}{9}$
【考え方】3を何乗したら $\frac{1}{9}$ になるか？
【Step 1】$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
【Step 2】$3^{-2} = \frac{1}{9}$ より
$$\log_3 \frac{1}{9} = -2$$
2.2 対数の性質
対数には、計算を簡単にする重要な性質があります。
📐 対数の重要な性質（$M > 0, N > 0$）
① 積の対数
$$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$$ 【読み方】「積の対数は、対数の和」
② 商の対数
$$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N$$ 【読み方】「商の対数は、対数の差」
③ 累乗の対数
$$\log_a M^k = k \log_a M$$ 【読み方】「累乗の対数は、指数を前に出せる」
④ 基本公式
$$\log_a 1 = 0 \quad \text{（どんな数も0乗すると1だから）}$$ $$\log_a a = 1 \quad \text{（$a^1 = a$ だから）}$$
① 積の対数
$$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$$ 【読み方】「積の対数は、対数の和」
② 商の対数
$$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N$$ 【読み方】「商の対数は、対数の差」
③ 累乗の対数
$$\log_a M^k = k \log_a M$$ 【読み方】「累乗の対数は、指数を前に出せる」
④ 基本公式
$$\log_a 1 = 0 \quad \text{（どんな数も0乗すると1だから）}$$ $$\log_a a = 1 \quad \text{（$a^1 = a$ だから）}$$
💡 なぜ「積の対数 = 対数の和」なのか？
指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ の両辺の対数をとると：
$$\log_a(a^m \times a^n) = \log_a a^{m+n}$$ $$\log_a a^m + \log_a a^n = m + n$$ $$m + n = m + n \quad \checkmark$$ つまり、対数は「かけ算を足し算に変換する」魔法の道具です！
指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ の両辺の対数をとると：
$$\log_a(a^m \times a^n) = \log_a a^{m+n}$$ $$\log_a a^m + \log_a a^n = m + n$$ $$m + n = m + n \quad \checkmark$$ つまり、対数は「かけ算を足し算に変換する」魔法の道具です！
例題3：対数の性質を使った計算
問題：$\log_2 3 = 1.585$ とするとき、$\log_2 24$ の値を求めよ。
解答：
【Step 1】24を素因数分解する
$24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$
【Step 2】積の対数の性質を使う
$$\log_2 24 = \log_2 (8 \times 3) = \log_2 8 + \log_2 3$$
【Step 3】$\log_2 8$ を計算する
$8 = 2^3$ なので、$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$
【Step 4】値を代入
$$\log_2 24 = 3 + 1.585 = 4.585$$
【Step 1】24を素因数分解する
$24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$
【Step 2】積の対数の性質を使う
$$\log_2 24 = \log_2 (8 \times 3) = \log_2 8 + \log_2 3$$
【Step 3】$\log_2 8$ を計算する
$8 = 2^3$ なので、$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$
【Step 4】値を代入
$$\log_2 24 = 3 + 1.585 = 4.585$$
2.3 常用対数と自然対数
統計学で使われる対数は主に2種類です。
⭐ 2つの重要な対数
統計学準1級レベルでは、自然対数 $\ln x$ が圧倒的に重要！
| 名称 | 記号 | 底 | 用途 |
|---|---|---|---|
| 常用対数 | $\log_{10} x$ または $\log x$ | 10 | 桁数の計算、デシベルなど |
| 自然対数 | $\log_e x$ または $\ln x$ | $e$ | 微積分、統計学、物理学 |
統計学準1級レベルでは、自然対数 $\ln x$ が圧倒的に重要！
💡 $\ln$ の読み方
$\ln x$ は「エルエヌ エックス」または「ナチュラルログ エックス」と読みます。
（ln = natural logarithm の略）
$\ln x$ は「エルエヌ エックス」または「ナチュラルログ エックス」と読みます。
（ln = natural logarithm の略）
例題4：自然対数の計算
問題：$\ln e^3$ の値を求めよ。
解答：
【Step 1】累乗の対数の性質を使う
$$\ln e^3 = 3 \ln e$$
【Step 2】$\ln e$ の値を求める
$\ln e = \log_e e = 1$（$e^1 = e$ だから）
【Step 3】計算
$$\ln e^3 = 3 \times 1 = 3$$
【Step 1】累乗の対数の性質を使う
$$\ln e^3 = 3 \ln e$$
【Step 2】$\ln e$ の値を求める
$\ln e = \log_e e = 1$（$e^1 = e$ だから）
【Step 3】計算
$$\ln e^3 = 3 \times 1 = 3$$
📌 指数と対数の逆演算の関係
$$\ln e^x = x \quad \text{（対数をとると指数が出てくる）}$$ $$e^{\ln x} = x \quad \text{（指数に対数を入れると元に戻る）}$$ この関係は、統計学の計算で頻繁に使います！
$$\ln e^x = x \quad \text{（対数をとると指数が出てくる）}$$ $$e^{\ln x} = x \quad \text{（指数に対数を入れると元に戻る）}$$ この関係は、統計学の計算で頻繁に使います！
3. 三角関数の定義と性質
3.1 三角関数の定義（単位円）
三角関数は、統計学では周期性を持つデータの分析（時系列解析など）や、特性関数の計算で使われます。
📖 三角関数の定義（単位円を使った定義）
半径1の円（単位円）上の点を $(x, y)$、$x$ 軸の正の方向とのなす角を $\theta$ とすると：
$$\sin \theta = y \text{ 座標}$$ $$\cos \theta = x \text{ 座標}$$ $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
半径1の円（単位円）上の点を $(x, y)$、$x$ 軸の正の方向とのなす角を $\theta$ とすると：
$$\sin \theta = y \text{ 座標}$$ $$\cos \theta = x \text{ 座標}$$ $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
💡 直角三角形での覚え方
直角三角形で、角 $\theta$ に対して：
$$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$$ $$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$$ $$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$ 語呂合わせ：「サイン対斜、コサイン隣斜、タンジェント対隣」
直角三角形で、角 $\theta$ に対して：
$$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$$ $$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$$ $$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$ 語呂合わせ：「サイン対斜、コサイン隣斜、タンジェント対隣」
3.2 基本的な三角関数の値
以下の値は覚えておくと便利です。
📊 基本角の三角関数の値
| $\theta$（度） | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\theta$（ラジアン） | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $\sin \theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos \theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan \theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | なし |
💡 覚え方のコツ
$\sin$ の値は「$0°$ から $90°$ に向かって増加」：$0 \to \frac{1}{2} \to \frac{\sqrt{2}}{2} \to \frac{\sqrt{3}}{2} \to 1$
$\cos$ の値は「$0°$ から $90°$ に向かって減少」：$1 \to \frac{\sqrt{3}}{2} \to \frac{\sqrt{2}}{2} \to \frac{1}{2} \to 0$
つまり、$\sin$ と $\cos$ の値は、角度が $90°$ だけずれた関係！
$\sin$ の値は「$0°$ から $90°$ に向かって増加」：$0 \to \frac{1}{2} \to \frac{\sqrt{2}}{2} \to \frac{\sqrt{3}}{2} \to 1$
$\cos$ の値は「$0°$ から $90°$ に向かって減少」：$1 \to \frac{\sqrt{3}}{2} \to \frac{\sqrt{2}}{2} \to \frac{1}{2} \to 0$
つまり、$\sin$ と $\cos$ の値は、角度が $90°$ だけずれた関係！
3.3 三角関数の重要な公式
📐 三角関数の基本公式
① 相互関係（ピタゴラスの定理から）
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ 【読み方】「サイン2乗プラスコサイン2乗イコール1」
② 周期性
$$\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$$ $$\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$$ 【意味】$2\pi$（360°）回転すると元に戻る
③ 偶関数・奇関数
$$\cos(-\theta) = \cos \theta \quad \text{（偶関数：$y$軸対称）}$$ $$\sin(-\theta) = -\sin \theta \quad \text{（奇関数：原点対称）}$$
① 相互関係（ピタゴラスの定理から）
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ 【読み方】「サイン2乗プラスコサイン2乗イコール1」
② 周期性
$$\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$$ $$\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$$ 【意味】$2\pi$（360°）回転すると元に戻る
③ 偶関数・奇関数
$$\cos(-\theta) = \cos \theta \quad \text{（偶関数：$y$軸対称）}$$ $$\sin(-\theta) = -\sin \theta \quad \text{（奇関数：原点対称）}$$
例題5：三角関数の基本
問題：$\sin \theta = \dfrac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めよ（ただし、$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$）。
解答：
【Step 1】相互関係の公式を使う
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$
【Step 2】$\sin \theta = \frac{3}{5}$ を代入
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$$ $$\frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1$$
【Step 3】$\cos^2 \theta$ を求める
$$\cos^2 \theta = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$$
【Step 4】$\cos \theta$ の符号を決める
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$（第1象限）なので、$\cos \theta > 0$
【Step 5】答え
$$\cos \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$
【Step 1】相互関係の公式を使う
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$
【Step 2】$\sin \theta = \frac{3}{5}$ を代入
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$$ $$\frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1$$
【Step 3】$\cos^2 \theta$ を求める
$$\cos^2 \theta = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$$
【Step 4】$\cos \theta$ の符号を決める
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$（第1象限）なので、$\cos \theta > 0$
【Step 5】答え
$$\cos \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$
3.4 ラジアンと度数法
統計学では、角度をラジアンで表すことが多いです。
⭐ ラジアンとは
弧の長さが半径と等しくなる角度が $1$ ラジアンです。
変換公式：
$$360° = 2\pi \text{ ラジアン}$$ $$180° = \pi \text{ ラジアン}$$ $$90° = \frac{\pi}{2} \text{ ラジアン}$$
度からラジアンへの変換：
$$\text{ラジアン} = \text{度} \times \frac{\pi}{180}$$
弧の長さが半径と等しくなる角度が $1$ ラジアンです。
変換公式：
$$360° = 2\pi \text{ ラジアン}$$ $$180° = \pi \text{ ラジアン}$$ $$90° = \frac{\pi}{2} \text{ ラジアン}$$
度からラジアンへの変換：
$$\text{ラジアン} = \text{度} \times \frac{\pi}{180}$$
💡 なぜラジアンを使うのか？
ラジアンを使うと、微積分の公式がシンプルになります：
$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$ $$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$ 度数法だと余計な係数がついてしまいます。
ラジアンを使うと、微積分の公式がシンプルになります：
$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$ $$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$ 度数法だと余計な係数がついてしまいます。
📝 練習問題
問題 1
指数法則
次の式を簡単にせよ。
(1) $4^3 \times 4^{-1}$
(2) $(2^3)^2 \div 2^4$
解答：
(1) $4^3 \times 4^{-1}$
【Step 1】同じ底の積なので、指数を足す
$$4^3 \times 4^{-1} = 4^{3+(-1)} = 4^2 = 16$$
(2) $(2^3)^2 \div 2^4$
【Step 1】累乗の累乗を計算
$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$
【Step 2】同じ底の商を計算
$$2^6 \div 2^4 = 2^{6-4} = 2^2 = 4$$
(1) $4^3 \times 4^{-1}$
【Step 1】同じ底の積なので、指数を足す
$$4^3 \times 4^{-1} = 4^{3+(-1)} = 4^2 = 16$$
(2) $(2^3)^2 \div 2^4$
【Step 1】累乗の累乗を計算
$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$
【Step 2】同じ底の商を計算
$$2^6 \div 2^4 = 2^{6-4} = 2^2 = 4$$
問題 2
対数の計算
$\log_2 5 = 2.322$ とするとき、次の値を求めよ。
(1) $\log_2 10$
(2) $\log_2 40$
解答：
(1) $\log_2 10$
【Step 1】$10 = 2 \times 5$ と分解
【Step 2】積の対数の性質を使う
$$\log_2 10 = \log_2 (2 \times 5) = \log_2 2 + \log_2 5 = 1 + 2.322 = 3.322$$
(2) $\log_2 40$
【Step 1】$40 = 8 \times 5 = 2^3 \times 5$ と分解
【Step 2】積の対数の性質を使う
$$\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 = 3 + 2.322 = 5.322$$
(1) $\log_2 10$
【Step 1】$10 = 2 \times 5$ と分解
【Step 2】積の対数の性質を使う
$$\log_2 10 = \log_2 (2 \times 5) = \log_2 2 + \log_2 5 = 1 + 2.322 = 3.322$$
(2) $\log_2 40$
【Step 1】$40 = 8 \times 5 = 2^3 \times 5$ と分解
【Step 2】積の対数の性質を使う
$$\log_2 40 = \log_2 8 + \log_2 5 = 3 + 2.322 = 5.322$$
問題 3
指数方程式
次の方程式を解け。
$2^x = 16$
解答：
【Step 1】右辺を2の累乗で表す
$16 = 2^4$
【Step 2】方程式を書き換える
$$2^x = 2^4$$
【Step 3】底が同じなので、指数を比較
$$x = 4$$
【Step 1】右辺を2の累乗で表す
$16 = 2^4$
【Step 2】方程式を書き換える
$$2^x = 2^4$$
【Step 3】底が同じなので、指数を比較
$$x = 4$$
問題 4
対数方程式
次の方程式を解け。
$\log_3 x = 4$
解答：
【Step 1】対数の定義を思い出す
$\log_a M = p$ ⇔ $a^p = M$
【Step 2】定義に従って変換
$\log_3 x = 4$ ⇔ $3^4 = x$
【Step 3】計算
$$x = 3^4 = 81$$
【Step 1】対数の定義を思い出す
$\log_a M = p$ ⇔ $a^p = M$
【Step 2】定義に従って変換
$\log_3 x = 4$ ⇔ $3^4 = x$
【Step 3】計算
$$x = 3^4 = 81$$
問題 5
対数の性質
$\log_a 2 = p$、$\log_a 3 = q$ のとき、$\log_a 18$ を $p, q$ で表せ。
解答：
【Step 1】18を素因数分解
$18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$
【Step 2】積の対数の性質を使う
$$\log_a 18 = \log_a (2 \times 3^2) = \log_a 2 + \log_a 3^2$$
【Step 3】累乗の対数の性質を使う
$$= \log_a 2 + 2\log_a 3$$
【Step 4】$p, q$ を代入
$$= p + 2q$$
【Step 1】18を素因数分解
$18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$
【Step 2】積の対数の性質を使う
$$\log_a 18 = \log_a (2 \times 3^2) = \log_a 2 + \log_a 3^2$$
【Step 3】累乗の対数の性質を使う
$$= \log_a 2 + 2\log_a 3$$
【Step 4】$p, q$ を代入
$$= p + 2q$$
問題 6
自然対数
次の値を求めよ。
(1) $\ln e^5$
(2) $e^{\ln 7}$
解答：
(1) $\ln e^5$
【方法1】累乗の対数の性質を使う
$\ln e^5 = 5 \ln e = 5 \times 1 = 5$
【方法2】$\ln e^x = x$ を直接使う
$\ln e^5 = 5$
(2) $e^{\ln 7}$
指数と対数は逆演算なので
$$e^{\ln x} = x$$ よって $$e^{\ln 7} = 7$$
(1) $\ln e^5$
【方法1】累乗の対数の性質を使う
$\ln e^5 = 5 \ln e = 5 \times 1 = 5$
【方法2】$\ln e^x = x$ を直接使う
$\ln e^5 = 5$
(2) $e^{\ln 7}$
指数と対数は逆演算なので
$$e^{\ln x} = x$$ よって $$e^{\ln 7} = 7$$
問題 7
三角関数の基本
次の値を求めよ。
(1) $\sin 30°$
(2) $\cos 60°$
(3) $\tan 45°$
解答：
基本角の値の表より：
(1) $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$
(2) $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$
(3) $\tan 45° = 1$
基本角の値の表より：
(1) $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$
(2) $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$
(3) $\tan 45° = 1$
問題 8
三角関数の相互関係
$\cos \theta = \dfrac{5}{13}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めよ（ただし、$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$）。
解答：
【Step 1】相互関係の公式を使う
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$
【Step 2】代入して計算
$$\sin^2 \theta + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \theta = 1 – \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$
【Step 3】符号を決定
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \theta > 0$
【Step 4】答え
$$\sin \theta = \frac{12}{13}$$
【Step 1】相互関係の公式を使う
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$
【Step 2】代入して計算
$$\sin^2 \theta + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \theta = 1 – \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$
【Step 3】符号を決定
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \theta > 0$
【Step 4】答え
$$\sin \theta = \frac{12}{13}$$
問題 9
ラジアンへの変換
次の角度をラジアンで表せ。
(1) $180°$
(2) $270°$
解答：
(1) $180°$
$180° = \pi$ ラジアン
(2) $270°$
【方法1】$270° = 180° + 90° = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$
【方法2】$270° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}$
答え：$\dfrac{3\pi}{2}$ ラジアン
(1) $180°$
$180° = \pi$ ラジアン
(2) $270°$
【方法1】$270° = 180° + 90° = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$
【方法2】$270° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}$
答え：$\dfrac{3\pi}{2}$ ラジアン
問題 10
指数関数の性質
$y = 2^x$ のグラフについて、次の問いに答えよ。
(1) $x = 0$ のときの $y$ の値
(2) $x$ が非常に大きな負の数のとき、$y$ の値はどうなるか
解答：
(1)
$x = 0$ のとき
$$y = 2^0 = 1$$
(2)
$x \to -\infty$ のとき
$2^x = \frac{1}{2^{|x|}} \to 0$
つまり、$y$ は限りなく $0$ に近づくが、$0$ にはならない。
（$x$ 軸が漸近線）
(1)
$x = 0$ のとき
$$y = 2^0 = 1$$
(2)
$x \to -\infty$ のとき
$2^x = \frac{1}{2^{|x|}} \to 0$
つまり、$y$ は限りなく $0$ に近づくが、$0$ にはならない。
（$x$ 軸が漸近線）
問題 11
対数の応用
$\log_{10} 2 = 0.3010$ とするとき、$10^x = 5$ を満たす $x$ の値を求めよ。
解答：
【Step 1】両辺の常用対数をとる
$$\log_{10} 10^x = \log_{10} 5$$ $$x = \log_{10} 5$$
【Step 2】$\log_{10} 5$ を計算する
$5 = \frac{10}{2}$ なので
$$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 – \log_{10} 2$$
【Step 3】値を代入
$$x = 1 – 0.3010 = 0.6990$$
【Step 1】両辺の常用対数をとる
$$\log_{10} 10^x = \log_{10} 5$$ $$x = \log_{10} 5$$
【Step 2】$\log_{10} 5$ を計算する
$5 = \frac{10}{2}$ なので
$$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 – \log_{10} 2$$
【Step 3】値を代入
$$x = 1 – 0.3010 = 0.6990$$
問題 12
指数不等式
次の不等式を解け。
$2^x > 8$
解答：
【Step 1】右辺を2の累乗で表す
$8 = 2^3$
【Step 2】不等式を書き換える
$$2^x > 2^3$$
【Step 3】底 $2 > 1$ なので、不等号の向きはそのまま
$$x > 3$$
【Step 1】右辺を2の累乗で表す
$8 = 2^3$
【Step 2】不等式を書き換える
$$2^x > 2^3$$
【Step 3】底 $2 > 1$ なので、不等号の向きはそのまま
$$x > 3$$
問題 13
対数不等式
次の不等式を解け。
$\log_2 x < 3$
解答：
【Step 1】対数の定義に戻す
$\log_2 x < 3$ ⇔ $x < 2^3 = 8$
【Step 2】対数の定義域を確認
対数の真数は正なので、$x > 0$
【Step 3】答え
$$0 < x < 8$$
【Step 1】対数の定義に戻す
$\log_2 x < 3$ ⇔ $x < 2^3 = 8$
【Step 2】対数の定義域を確認
対数の真数は正なので、$x > 0$
【Step 3】答え
$$0 < x < 8$$
問題 14
三角関数の方程式
$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin \theta = \dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求めよ。
解答：
【Step 1】基本角で $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる角を探す
$\sin 30° = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
【Step 2】$\sin$ が正となる象限を確認
第1象限と第2象限で $\sin > 0$
【Step 3】第2象限の角を求める
第2象限では $\theta = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$
【Step 4】答え
$$\theta = \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6}$$
【Step 1】基本角で $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる角を探す
$\sin 30° = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
【Step 2】$\sin$ が正となる象限を確認
第1象限と第2象限で $\sin > 0$
【Step 3】第2象限の角を求める
第2象限では $\theta = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$
【Step 4】答え
$$\theta = \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6}$$
問題 15
底の変換公式
$\log_2 3 = a$ のとき、$\log_3 2$ を $a$ で表せ。
解答：
【方法1：定義から導く】
【Step 1】$\log_2 3 = a$ より $2^a = 3$
【Step 2】両辺の $\log_3$ をとる
$\log_3 2^a = \log_3 3$
$a \log_3 2 = 1$
【Step 3】答え
$$\log_3 2 = \frac{1}{a}$$
【方法2：底の変換公式を使う】
$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$ より、$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{a}$
【方法1：定義から導く】
【Step 1】$\log_2 3 = a$ より $2^a = 3$
【Step 2】両辺の $\log_3$ をとる
$\log_3 2^a = \log_3 3$
$a \log_3 2 = 1$
【Step 3】答え
$$\log_3 2 = \frac{1}{a}$$
【方法2：底の変換公式を使う】
$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$ より、$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{a}$
問題 16
指数関数の最大・最小
$0 \leq x \leq 2$ のとき、$y = 2^x$ の最大値と最小値を求めよ。
解答：
【Step 1】$y = 2^x$ は単調増加関数
（底 $2 > 1$ なので、$x$ が増えると $y$ も増える）
【Step 2】区間の端点で最小・最大をとる
最小値：$x = 0$ のとき $y = 2^0 = 1$
最大値：$x = 2$ のとき $y = 2^2 = 4$
【Step 1】$y = 2^x$ は単調増加関数
（底 $2 > 1$ なので、$x$ が増えると $y$ も増える）
【Step 2】区間の端点で最小・最大をとる
最小値：$x = 0$ のとき $y = 2^0 = 1$
最大値：$x = 2$ のとき $y = 2^2 = 4$
問題 17
対数関数の値域
$1 \leq x \leq 8$ のとき、$y = \log_2 x$ の値域を求めよ。
解答：
【Step 1】$y = \log_2 x$ は単調増加関数
【Step 2】区間の端点での値を計算
$x = 1$ のとき：$y = \log_2 1 = 0$
$x = 8$ のとき：$y = \log_2 8 = 3$
【Step 3】答え
値域は $0 \leq y \leq 3$
【Step 1】$y = \log_2 x$ は単調増加関数
【Step 2】区間の端点での値を計算
$x = 1$ のとき：$y = \log_2 1 = 0$
$x = 8$ のとき：$y = \log_2 8 = 3$
【Step 3】答え
値域は $0 \leq y \leq 3$
問題 18
三角関数のグラフ
$y = \sin x$ のグラフについて、次の問いに答えよ。
(1) 周期
(2) 値域
解答：
(1) 周期
$\sin(x + 2\pi) = \sin x$ より
周期は $2\pi$
(2) 値域
$\sin x$ は $-1$ から $1$ の間の値をとるので
値域は $-1 \leq y \leq 1$
(1) 周期
$\sin(x + 2\pi) = \sin x$ より
周期は $2\pi$
(2) 値域
$\sin x$ は $-1$ から $1$ の間の値をとるので
値域は $-1 \leq y \leq 1$
問題 19
指数・対数の合成
$e^{2 \ln 3}$ の値を求めよ。
解答：
【Step 1】指数部分を変形
$2 \ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9$
【Step 2】$e^{\ln x} = x$ を使う
$$e^{2 \ln 3} = e^{\ln 9} = 9$$
【Step 1】指数部分を変形
$2 \ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9$
【Step 2】$e^{\ln x} = x$ を使う
$$e^{2 \ln 3} = e^{\ln 9} = 9$$
問題 20
統計学への応用
正規分布の確率密度関数には $e^{-x^2}$ という項が含まれます。$x = 2$ のとき、$e^{-4}$ の近似値を求めよ（$e \approx 2.718$ として）。
解答：
【Step 1】$e^{-4} = \frac{1}{e^4}$ と変形
【Step 2】$e^4$ を計算
$e^4 = (e^2)^2$
$e^2 \approx (2.718)^2 \approx 7.389$
$e^4 \approx (7.389)^2 \approx 54.60$
【Step 3】答え
$$e^{-4} \approx \frac{1}{54.60} \approx 0.0183$$
【補足】このように、正規分布では $x$ が平均から離れるほど $e^{-x^2}$ の値は急激に小さくなり、確率密度も小さくなります。
【Step 1】$e^{-4} = \frac{1}{e^4}$ と変形
【Step 2】$e^4$ を計算
$e^4 = (e^2)^2$
$e^2 \approx (2.718)^2 \approx 7.389$
$e^4 \approx (7.389)^2 \approx 54.60$
【Step 3】答え
$$e^{-4} \approx \frac{1}{54.60} \approx 0.0183$$
【補足】このように、正規分布では $x$ が平均から離れるほど $e^{-x^2}$ の値は急激に小さくなり、確率密度も小さくなります。
📌 Step 2aのまとめ
- 指数法則を使って $a^m \times a^n = a^{m+n}$ などの計算ができるようになった
- 対数の性質 $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ を理解した
- 自然対数 $\ln x$ と自然対数の底 $e \approx 2.718$ の重要性を理解した
- $e^{\ln x} = x$、$\ln e^x = x$ という逆演算の関係を習得した
- 三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を理解した
- ラジアンと度数法の変換ができるようになった
学習メモ
統計検定準1級対策 - Step 2
📋 過去のメモ一覧
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