Step 9: 分散分析（ANOVA）
一元配置・二元配置分散分析、多重比較法を体系的に学びます
📚 このステップで学ぶこと
このステップでは、3つ以上の群の平均値を比較する分散分析（ANOVA）を学びます。平方和の分解、F検定の理論、二元配置分散分析における交互作用、多重比較法など、実験データの分析に不可欠な技術を習得します。
🎯 なぜ分散分析を学ぶのか？
- 多群比較：3群以上の平均を同時に比較できる唯一の適切な方法
- 実験計画：複数要因の効果を同時に分析可能
- 交互作用：要因間の相乗効果・打ち消し効果を検出
- 効率性：t検定の繰り返しより統計的に優れている
1. 一元配置分散分析の基礎
1.1 分散分析とは
📖 分散分析（Analysis of Variance, ANOVA）
3つ以上の群の平均値に差があるかを検定する手法
問題設定：
$k$ 個の群（処理）からデータを取得
各群の母平均：$\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_k$
帰無仮説：$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$
対立仮説：$H_1:$ 少なくとも1つは異なる
なぜt検定を繰り返さないのか？
・多重検定により第1種の誤りが増大
・$k$ 個の群で $\binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}$ 回の検定が必要
・全体としての有意水準を $\alpha$ に保てない
3つ以上の群の平均値に差があるかを検定する手法
問題設定：
$k$ 個の群（処理）からデータを取得
各群の母平均：$\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_k$
帰無仮説：$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$
対立仮説：$H_1:$ 少なくとも1つは異なる
なぜt検定を繰り返さないのか？
・多重検定により第1種の誤りが増大
・$k$ 個の群で $\binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}$ 回の検定が必要
・全体としての有意水準を $\alpha$ に保てない
1.2 モデルと仮定
📐 一元配置分散分析のモデル
$$y_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}$$
ここで、
・$y_{ij}$：$i$ 番目の群の $j$ 番目の観測値
・$\mu$：全体平均
・$\alpha_i$：$i$ 番目の群の効果（$\sum \alpha_i = 0$）
・$\varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$：誤差項
仮定：
① 正規性：各群は正規分布に従う
② 等分散性：各群の分散は等しい（$\sigma^2$）
③ 独立性：観測値は独立
$H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$
$$y_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}$$
ここで、
・$y_{ij}$：$i$ 番目の群の $j$ 番目の観測値
・$\mu$：全体平均
・$\alpha_i$：$i$ 番目の群の効果（$\sum \alpha_i = 0$）
・$\varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$：誤差項
仮定：
① 正規性：各群は正規分布に従う
② 等分散性：各群の分散は等しい（$\sigma^2$）
③ 独立性：観測値は独立
$H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$
例題1：ANOVAの適用場面
問題：3種類の肥料A, B, Cの効果を比較したい。なぜt検定を3回（A vs B, A vs C, B vs C）行うのではなく、ANOVAを使うべきか？
解答：
【t検定を3回行う場合の問題】
各検定の有意水準を $\alpha = 0.05$ とすると、
全体として第1種の誤りを犯さない確率は：
$$(1 – 0.05)^3 = 0.857$$
よって、全体の有意水準は：
$$1 – 0.857 = 0.143 \text{（約14%！）}$$
【ANOVAの利点】
・1回の検定で全体の有意水準を $\alpha$ に保てる
・多重検定による誤りの増大を防げる
・より効率的な検定が可能
【t検定を3回行う場合の問題】
各検定の有意水準を $\alpha = 0.05$ とすると、
全体として第1種の誤りを犯さない確率は：
$$(1 – 0.05)^3 = 0.857$$
よって、全体の有意水準は：
$$1 – 0.857 = 0.143 \text{（約14%！）}$$
【ANOVAの利点】
・1回の検定で全体の有意水準を $\alpha$ に保てる
・多重検定による誤りの増大を防げる
・より効率的な検定が可能
2. 平方和の分解とF検定
2.1 平方和の分解
⭐ 総平方和の分解
$$S_T = S_A + S_E$$
総平方和（Total Sum of Squares）：
$$S_T = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij} – \bar{y}_{..})^2$$ （全データの全体平均からのばらつき）
群間平方和（Between-group SS）：
$$S_A = \sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{y}_{i.} – \bar{y}_{..})^2$$ （各群平均の全体平均からのばらつき）
群内平方和（Within-group SS）：
$$S_E = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij} – \bar{y}_{i.})^2$$ （各群内でのばらつき）
ここで、
$\bar{y}_{i.}$：$i$ 番目の群の平均
$\bar{y}_{..}$：全体平均
$n_i$：$i$ 番目の群のサンプルサイズ
$$S_T = S_A + S_E$$
総平方和（Total Sum of Squares）：
$$S_T = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij} – \bar{y}_{..})^2$$ （全データの全体平均からのばらつき）
群間平方和（Between-group SS）：
$$S_A = \sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{y}_{i.} – \bar{y}_{..})^2$$ （各群平均の全体平均からのばらつき）
群内平方和（Within-group SS）：
$$S_E = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij} – \bar{y}_{i.})^2$$ （各群内でのばらつき）
ここで、
$\bar{y}_{i.}$：$i$ 番目の群の平均
$\bar{y}_{..}$：全体平均
$n_i$：$i$ 番目の群のサンプルサイズ
2.2 自由度と平均平方
📖 自由度（Degrees of Freedom）
・総自由度：$\phi_T = N – 1$（$N$：全サンプルサイズ）
・群間自由度：$\phi_A = k – 1$（$k$：群の数）
・群内自由度：$\phi_E = N – k$
$$\phi_T = \phi_A + \phi_E$$
平均平方（Mean Square）
・群間平均平方：$V_A = \frac{S_A}{k-1}$
・群内平均平方：$V_E = \frac{S_E}{N-k}$
F統計量：
$$F = \frac{V_A}{V_E} \sim F(k-1, N-k) \quad (H_0 \text{の下で})$$
F値が大きい → 群間の差が大きい → $H_0$ を棄却
・総自由度：$\phi_T = N – 1$（$N$：全サンプルサイズ）
・群間自由度：$\phi_A = k – 1$（$k$：群の数）
・群内自由度：$\phi_E = N – k$
$$\phi_T = \phi_A + \phi_E$$
平均平方（Mean Square）
・群間平均平方：$V_A = \frac{S_A}{k-1}$
・群内平均平方：$V_E = \frac{S_E}{N-k}$
F統計量：
$$F = \frac{V_A}{V_E} \sim F(k-1, N-k) \quad (H_0 \text{の下で})$$
F値が大きい → 群間の差が大きい → $H_0$ を棄却
例題2：平方和の計算
問題：3群のデータ
群A：5, 6, 7（$n_1=3$, $\bar{y}_1=6$）
群B：8, 9, 10（$n_2=3$, $\bar{y}_2=9$）
群C：11, 12, 13（$n_3=3$, $\bar{y}_3=12$）
全体平均 $\bar{y}_{..} = 9$ のとき、$S_T$, $S_A$, $S_E$ を求めよ。
解答：
【総平方和 $S_T$】
$$S_T = (5-9)^2 + (6-9)^2 + (7-9)^2 + (8-9)^2 + (9-9)^2 + (10-9)^2$$ $$+ (11-9)^2 + (12-9)^2 + (13-9)^2$$ $$= 16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 60$$
【群間平方和 $S_A$】
$$S_A = 3(6-9)^2 + 3(9-9)^2 + 3(12-9)^2$$ $$= 3 \times 9 + 3 \times 0 + 3 \times 9 = 27 + 0 + 27 = 54$$
【群内平方和 $S_E$】
$$S_E = S_T – S_A = 60 – 54 = 6$$
または直接計算：
$$S_E = \{(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2\} + \{(8-9)^2+(9-9)^2+(10-9)^2\}$$ $$+ \{(11-12)^2+(12-12)^2+(13-12)^2\}$$ $$= (1+0+1) + (1+0+1) + (1+0+1) = 6 \checkmark$$
【総平方和 $S_T$】
$$S_T = (5-9)^2 + (6-9)^2 + (7-9)^2 + (8-9)^2 + (9-9)^2 + (10-9)^2$$ $$+ (11-9)^2 + (12-9)^2 + (13-9)^2$$ $$= 16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 60$$
【群間平方和 $S_A$】
$$S_A = 3(6-9)^2 + 3(9-9)^2 + 3(12-9)^2$$ $$= 3 \times 9 + 3 \times 0 + 3 \times 9 = 27 + 0 + 27 = 54$$
【群内平方和 $S_E$】
$$S_E = S_T – S_A = 60 – 54 = 6$$
または直接計算：
$$S_E = \{(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2\} + \{(8-9)^2+(9-9)^2+(10-9)^2\}$$ $$+ \{(11-12)^2+(12-12)^2+(13-12)^2\}$$ $$= (1+0+1) + (1+0+1) + (1+0+1) = 6 \checkmark$$
2.3 分散分析表
📐 ANOVAテーブル（分散分析表）
| 要因 | 平方和 | 自由度 | 平均平方 | F値 |
| 群間 | $S_A$ | $k-1$ | $V_A = \frac{S_A}{k-1}$ | $F = \frac{V_A}{V_E}$ |
| 群内 | $S_E$ | $N-k$ | $V_E = \frac{S_E}{N-k}$ | |
| 総和 | $S_T$ | $N-1$ |
例題3：F検定の実施
問題：例題2のデータで、$\alpha=0.05$ でF検定を行え。（$F_{2,6}(0.05) = 5.14$）
解答：
【平均平方】
$$V_A = \frac{S_A}{k-1} = \frac{54}{2} = 27$$ $$V_E = \frac{S_E}{N-k} = \frac{6}{6} = 1$$
【F統計量】
$$F = \frac{V_A}{V_E} = \frac{27}{1} = 27$$
【分散分析表】
【判定】
$F = 27 > F_{2,6}(0.05) = 5.14$
よって、$H_0$ を棄却。
結論：3群の平均に有意な差がある。
【平均平方】
$$V_A = \frac{S_A}{k-1} = \frac{54}{2} = 27$$ $$V_E = \frac{S_E}{N-k} = \frac{6}{6} = 1$$
【F統計量】
$$F = \frac{V_A}{V_E} = \frac{27}{1} = 27$$
【分散分析表】
| 要因 | 平方和 | 自由度 | 平均平方 | F値 |
| 群間 | 54 | 2 | 27 | 27 |
| 群内 | 6 | 6 | 1 | |
| 総和 | 60 | 8 |
$F = 27 > F_{2,6}(0.05) = 5.14$
よって、$H_0$ を棄却。
結論：3群の平均に有意な差がある。
3. 二元配置分散分析
3.1 二元配置分散分析の概念
⭐ 二元配置分散分析（Two-way ANOVA）
2つの要因（因子）が目的変数に与える影響を同時に分析
要因：
・要因A：$a$ 個の水準
・要因B：$b$ 個の水準
モデル（繰り返しなし）：
$$y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$$
モデル（繰り返しあり）：
$$y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk}$$
$(\alpha\beta)_{ij}$：交互作用効果
2つの要因（因子）が目的変数に与える影響を同時に分析
要因：
・要因A：$a$ 個の水準
・要因B：$b$ 個の水準
モデル（繰り返しなし）：
$$y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}$$
モデル（繰り返しあり）：
$$y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk}$$
$(\alpha\beta)_{ij}$：交互作用効果
3.2 繰り返しのない二元配置
📖 平方和の分解
$$S_T = S_A + S_B + S_E$$
・$S_A$：要因Aの平方和
・$S_B$：要因Bの平方和
・$S_E$：残差平方和
自由度：
・$\phi_T = ab – 1$
・$\phi_A = a – 1$
・$\phi_B = b – 1$
・$\phi_E = (a-1)(b-1)$
F統計量：
$$F_A = \frac{V_A}{V_E} \sim F(a-1, (a-1)(b-1))$$ $$F_B = \frac{V_B}{V_E} \sim F(b-1, (a-1)(b-1))$$
$$S_T = S_A + S_B + S_E$$
・$S_A$：要因Aの平方和
・$S_B$：要因Bの平方和
・$S_E$：残差平方和
自由度：
・$\phi_T = ab – 1$
・$\phi_A = a – 1$
・$\phi_B = b – 1$
・$\phi_E = (a-1)(b-1)$
F統計量：
$$F_A = \frac{V_A}{V_E} \sim F(a-1, (a-1)(b-1))$$ $$F_B = \frac{V_B}{V_E} \sim F(b-1, (a-1)(b-1))$$
例題4：二元配置（繰り返しなし）
問題：3種類の肥料（A）と4種類の土壌（B）の組み合わせで収穫量を測定。
$S_A=50$, $S_B=80$, $S_T=150$ のとき、F検定を行え。（$F_{2,6}(0.05)=5.14$, $F_{3,6}(0.05)=4.76$）
解答：
$a = 3$（肥料）, $b = 4$（土壌）
【残差平方和】
$$S_E = S_T – S_A – S_B = 150 – 50 – 80 = 20$$
【自由度】
$\phi_A = a – 1 = 2$
$\phi_B = b – 1 = 3$
$\phi_E = (a-1)(b-1) = 2 \times 3 = 6$
【平均平方】
$V_A = 50/2 = 25$
$V_B = 80/3 \approx 26.67$
$V_E = 20/6 \approx 3.33$
【F統計量】
$F_A = 25/3.33 \approx 7.51 > 5.14$ → 肥料は有意
$F_B = 26.67/3.33 \approx 8.00 > 4.76$ → 土壌も有意
$a = 3$（肥料）, $b = 4$（土壌）
【残差平方和】
$$S_E = S_T – S_A – S_B = 150 – 50 – 80 = 20$$
【自由度】
$\phi_A = a – 1 = 2$
$\phi_B = b – 1 = 3$
$\phi_E = (a-1)(b-1) = 2 \times 3 = 6$
【平均平方】
$V_A = 50/2 = 25$
$V_B = 80/3 \approx 26.67$
$V_E = 20/6 \approx 3.33$
【F統計量】
$F_A = 25/3.33 \approx 7.51 > 5.14$ → 肥料は有意
$F_B = 26.67/3.33 \approx 8.00 > 4.76$ → 土壌も有意
3.3 交互作用
📐 交互作用（Interaction）
要因Aの効果が、要因Bの水準によって異なる
（または、要因Bの効果が要因Aの水準によって異なる）
繰り返しありの場合：
$$S_T = S_A + S_B + S_{AB} + S_E$$
$S_{AB}$：交互作用平方和
$\phi_{AB} = (a-1)(b-1)$
検定順序：
① 交互作用の検定：$F_{AB} = V_{AB}/V_E$
② 交互作用が有意なら、主効果の解釈は慎重に
③ 交互作用が非有意なら、主効果を検定
要因Aの効果が、要因Bの水準によって異なる
（または、要因Bの効果が要因Aの水準によって異なる）
繰り返しありの場合：
$$S_T = S_A + S_B + S_{AB} + S_E$$
$S_{AB}$：交互作用平方和
$\phi_{AB} = (a-1)(b-1)$
検定順序：
① 交互作用の検定：$F_{AB} = V_{AB}/V_E$
② 交互作用が有意なら、主効果の解釈は慎重に
③ 交互作用が非有意なら、主効果を検定
例題5：交互作用の解釈
問題：薬剤（A：あり/なし）と運動（B：あり/なし）の効果を調べた結果、交互作用が有意だった。これは何を意味するか？
解答：
薬剤の効果が、運動の有無によって異なる。
例：
・運動なしの場合：薬剤の効果が大きい
・運動ありの場合：薬剤の効果が小さい
または逆に、
・薬剤なしの場合：運動の効果が大きい
・薬剤ありの場合：運動の効果が小さい
実務的意味：
「薬剤と運動を組み合わせても、単純な足し算にならない」
薬剤の効果が、運動の有無によって異なる。
例：
・運動なしの場合：薬剤の効果が大きい
・運動ありの場合：薬剤の効果が小さい
または逆に、
・薬剤なしの場合：運動の効果が大きい
・薬剤ありの場合：運動の効果が小さい
実務的意味：
「薬剤と運動を組み合わせても、単純な足し算にならない」
4. 多重比較法
4.1 多重比較の必要性
⚠️ なぜ多重比較が必要か？
ANOVAで $H_0$ を棄却
→ 「少なくとも1つの群平均が異なる」
→ しかし、どの群とどの群が異なるかは不明！
事後検定（Post-hoc test）：
ANOVAで有意だった後に、どの群間に差があるかを調べる
問題：
単純にt検定を繰り返すと、全体の第1種の誤りが増大！
ANOVAで $H_0$ を棄却
→ 「少なくとも1つの群平均が異なる」
→ しかし、どの群とどの群が異なるかは不明！
事後検定（Post-hoc test）：
ANOVAで有意だった後に、どの群間に差があるかを調べる
問題：
単純にt検定を繰り返すと、全体の第1種の誤りが増大！
4.2 Bonferroni法
📖 Bonferroni の方法
最も保守的（厳しい）な方法
手順：
$k$ 個の群がある場合、$\binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}$ 個の比較
各比較の有意水準を $\alpha / \binom{k}{2}$ に設定
例：$k=3$, $\alpha=0.05$
比較数 $= 3$
各比較の有意水準 $= 0.05/3 \approx 0.0167$
利点：シンプルで厳密
欠点：検出力が低い
最も保守的（厳しい）な方法
手順：
$k$ 個の群がある場合、$\binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}$ 個の比較
各比較の有意水準を $\alpha / \binom{k}{2}$ に設定
例：$k=3$, $\alpha=0.05$
比較数 $= 3$
各比較の有意水準 $= 0.05/3 \approx 0.0167$
利点：シンプルで厳密
欠点：検出力が低い
4.3 Tukey法
📐 Tukey の HSD（Honestly Significant Difference）検定
すべての対比較で最も広く使われる
検定統計量：
$$q = \frac{\bar{y}_i – \bar{y}_j}{\sqrt{V_E/n}}$$
$q > q_\alpha(k, \phi_E)$ なら有意
ここで、$q_\alpha(k, \phi_E)$ は studentized range 分布の上側 $\alpha$ 点
利点：
・Bonferroni より検出力が高い
・全体の有意水準を $\alpha$ に保つ
・サンプルサイズが等しい場合に最適
すべての対比較で最も広く使われる
検定統計量：
$$q = \frac{\bar{y}_i – \bar{y}_j}{\sqrt{V_E/n}}$$
$q > q_\alpha(k, \phi_E)$ なら有意
ここで、$q_\alpha(k, \phi_E)$ は studentized range 分布の上側 $\alpha$ 点
利点：
・Bonferroni より検出力が高い
・全体の有意水準を $\alpha$ に保つ
・サンプルサイズが等しい場合に最適
例題6：多重比較
問題：4群のANOVAでF検定が有意（$\alpha=0.05$）。各群の平均：$\bar{y}_1=10$, $\bar{y}_2=12$, $\bar{y}_3=15$, $\bar{y}_4=16$, $V_E=4$, $n=5$。Tukey法で群1と群3を比較せよ。（$q_{0.05}(4,16)=4.05$）
解答：
【検定統計量】
$$q = \frac{\bar{y}_3 – \bar{y}_1}{\sqrt{V_E/n}} = \frac{15 – 10}{\sqrt{4/5}} = \frac{5}{\sqrt{0.8}} = \frac{5}{0.894} \approx 5.59$$
【臨界値】
$q_{0.05}(4, 16) = 4.05$
【判定】
$5.59 > 4.05$
よって、群1と群3の間に有意差あり。
【検定統計量】
$$q = \frac{\bar{y}_3 – \bar{y}_1}{\sqrt{V_E/n}} = \frac{15 – 10}{\sqrt{4/5}} = \frac{5}{\sqrt{0.8}} = \frac{5}{0.894} \approx 5.59$$
【臨界値】
$q_{0.05}(4, 16) = 4.05$
【判定】
$5.59 > 4.05$
よって、群1と群3の間に有意差あり。
4.4 その他の多重比較法
⭐ 多重比較法の選択
Dunnett法
対照群と各処理群を比較する場合に使用
Tukey より検出力が高い
Scheffé法
あらゆる対比（contrast）を検定可能
最も汎用性が高いが、検出力は最も低い
選択の目安：
・全ての対比較：Tukey
・対照群との比較：Dunnett
・複雑な対比：Scheffé
・保守的：Bonferroni
Dunnett法
対照群と各処理群を比較する場合に使用
Tukey より検出力が高い
Scheffé法
あらゆる対比（contrast）を検定可能
最も汎用性が高いが、検出力は最も低い
選択の目安：
・全ての対比較：Tukey
・対照群との比較：Dunnett
・複雑な対比：Scheffé
・保守的：Bonferroni
5. 前提条件の確認
5.1 正規性の検定
📖 正規性の確認方法
① Q-Qプロット：視覚的確認
② Shapiro-Wilk検定：小サンプル向け
③ Kolmogorov-Smirnov検定：大サンプル向け
対処法（正規性が成り立たない場合）：
・データ変換（対数変換など）
・ノンパラメトリック法（Kruskal-Wallis検定）
① Q-Qプロット：視覚的確認
② Shapiro-Wilk検定：小サンプル向け
③ Kolmogorov-Smirnov検定：大サンプル向け
対処法（正規性が成り立たない場合）：
・データ変換（対数変換など）
・ノンパラメトリック法（Kruskal-Wallis検定）
5.2 等分散性の検定
📐 等分散性の確認方法
① Bartlett検定：正規性を仮定
② Levene検定：ロバスト（正規性不要）
Bartlett検定：
$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \cdots = \sigma_k^2$
$\chi^2 \sim \chi^2(k-1)$（近似的）
対処法（等分散性が成り立たない場合）：
・Welch の ANOVA
・データ変換
・ノンパラメトリック法
① Bartlett検定：正規性を仮定
② Levene検定：ロバスト（正規性不要）
Bartlett検定：
$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \cdots = \sigma_k^2$
$\chi^2 \sim \chi^2(k-1)$（近似的）
対処法（等分散性が成り立たない場合）：
・Welch の ANOVA
・データ変換
・ノンパラメトリック法
5.3 独立性の確認
⚠️ 独立性の重要性
観測値が独立でない場合：
・標準誤差が過小評価される
・F検定が不正確になる
独立性が成り立たない例：
・同じ個体から複数測定
・時系列データ
・空間的相関
対処法：
・反復測定ANOVA
・混合効果モデル
・適切な実験計画
観測値が独立でない場合：
・標準誤差が過小評価される
・F検定が不正確になる
独立性が成り立たない例：
・同じ個体から複数測定
・時系列データ
・空間的相関
対処法：
・反復測定ANOVA
・混合効果モデル
・適切な実験計画
📝 練習問題（20問）
問題 1
平方和の分解
$S_T=100$, $S_A=60$ のとき、$S_E$ を求めよ。
解答：
$$S_E = S_T – S_A = 100 – 60 = 40$$
$$S_E = S_T – S_A = 100 – 60 = 40$$
問題 2
F値の計算
$V_A=30$, $V_E=5$ のとき、F値を求めよ。
解答：
$$F = \frac{V_A}{V_E} = \frac{30}{5} = 6$$
$$F = \frac{V_A}{V_E} = \frac{30}{5} = 6$$
問題 3
自由度の計算
$k=4$ 群、各群 $n=6$ のとき、群間・群内・総自由度を求めよ。
解答：
$N = 4 \times 6 = 24$
$\phi_A = k – 1 = 3$
$\phi_E = N – k = 20$
$\phi_T = N – 1 = 23$
$N = 4 \times 6 = 24$
$\phi_A = k – 1 = 3$
$\phi_E = N – k = 20$
$\phi_T = N – 1 = 23$
問題 4
ANOVA表の完成
$k=3$, $N=15$, $S_A=40$, $S_E=20$ の分散分析表を完成させよ。
解答：
$\phi_A = 2$, $\phi_E = 12$
$V_A = 40/2 = 20$
$V_E = 20/12 \approx 1.67$
$F = 20/1.67 \approx 12.0$
$\phi_A = 2$, $\phi_E = 12$
$V_A = 40/2 = 20$
$V_E = 20/12 \approx 1.67$
$F = 20/1.67 \approx 12.0$
問題 5
F検定の判定
$F=5.2$, $F_{2,15}(0.05)=3.68$ のとき、判定せよ。
解答：
$F = 5.2 > 3.68$
よって、$H_0$ を棄却。
群間に有意差あり。
$F = 5.2 > 3.68$
よって、$H_0$ を棄却。
群間に有意差あり。
問題 6
群間平方和の計算
3群で $n_1=n_2=n_3=4$, $\bar{y}_1=10$, $\bar{y}_2=12$, $\bar{y}_3=14$, $\bar{y}_{..}=12$ のとき、$S_A$ を求めよ。
解答：
$$S_A = 4(10-12)^2 + 4(12-12)^2 + 4(14-12)^2$$ $$= 4 \times 4 + 0 + 4 \times 4 = 16 + 0 + 16 = 32$$
$$S_A = 4(10-12)^2 + 4(12-12)^2 + 4(14-12)^2$$ $$= 4 \times 4 + 0 + 4 \times 4 = 16 + 0 + 16 = 32$$
問題 7
二元配置の自由度
$a=3$, $b=4$, 繰り返しなしのとき、$\phi_A$, $\phi_B$, $\phi_E$ を求めよ。
解答：
$\phi_A = a – 1 = 2$
$\phi_B = b – 1 = 3$
$\phi_E = (a-1)(b-1) = 2 \times 3 = 6$
$\phi_A = a – 1 = 2$
$\phi_B = b – 1 = 3$
$\phi_E = (a-1)(b-1) = 2 \times 3 = 6$
問題 8
Bonferroni補正
$k=5$ 群、$\alpha=0.05$ で全ての対比較を行う。Bonferroni法での各比較の有意水準は？
解答：
比較数 $= \binom{5}{2} = 10$
各比較の有意水準 $= 0.05/10 = 0.005$
比較数 $= \binom{5}{2} = 10$
各比較の有意水準 $= 0.05/10 = 0.005$
問題 9
交互作用の自由度
$a=3$, $b=4$, 繰り返しありのとき、交互作用の自由度は？
解答：
$$\phi_{AB} = (a-1)(b-1) = 2 \times 3 = 6$$
$$\phi_{AB} = (a-1)(b-1) = 2 \times 3 = 6$$
問題 10
Tukey検定
$\bar{y}_1=8$, $\bar{y}_2=12$, $V_E=4$, $n=5$, $q_{0.05}(4,16)=4.05$ のとき、群1と群2に差はあるか？
解答：
$$q = \frac{12-8}{\sqrt{4/5}} = \frac{4}{\sqrt{0.8}} \approx 4.47$$ $4.47 > 4.05$ より、有意差あり。
$$q = \frac{12-8}{\sqrt{4/5}} = \frac{4}{\sqrt{0.8}} \approx 4.47$$ $4.47 > 4.05$ より、有意差あり。
問題 11
平均平方の計算
$S_A=60$, $k=4$ のとき、$V_A$ を求めよ。
解答：
$$V_A = \frac{S_A}{k-1} = \frac{60}{3} = 20$$
$$V_A = \frac{S_A}{k-1} = \frac{60}{3} = 20$$
問題 12
分散分析の前提
ANOVAの3つの前提条件を挙げよ。
解答：
① 正規性：各群は正規分布に従う
② 等分散性：各群の分散が等しい
③ 独立性：観測値が独立
① 正規性：各群は正規分布に従う
② 等分散性：各群の分散が等しい
③ 独立性：観測値が独立
問題 13
残差平方和
群内の各観測値と群平均の差の二乗和は何と呼ばれるか？
解答：
群内平方和（$S_E$）または残差平方和
群内平方和（$S_E$）または残差平方和
問題 14
効果量
$\eta^2$（イータ二乗）$= S_A/S_T$ は何を表すか？
解答：
全変動のうち、要因によって説明される割合
（効果量の一種）
全変動のうち、要因によって説明される割合
（効果量の一種）
問題 15
二元配置の平方和
$S_T=200$, $S_A=60$, $S_B=80$, $S_{AB}=30$ のとき、$S_E$ を求めよ。
解答：
$$S_E = S_T – S_A – S_B – S_{AB} = 200 – 60 – 80 – 30 = 30$$
$$S_E = S_T – S_A – S_B – S_{AB} = 200 – 60 – 80 – 30 = 30$$
問題 16
検定の順序
二元配置（繰り返しあり）で、どの順で検定すべきか？
解答：
① 交互作用の検定
②（交互作用が非有意なら）主効果A, B の検定
③（各主効果が有意なら）多重比較
① 交互作用の検定
②（交互作用が非有意なら）主効果A, B の検定
③（各主効果が有意なら）多重比較
問題 17
等分散性の検定
正規性を仮定しない等分散性の検定は？
解答：
Levene検定（レビーン検定）
Levene検定（レビーン検定）
問題 18
対比較の数
$k=6$ 群のとき、すべての対比較の数は？
解答：
$$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$$
$$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$$
問題 19
モデルの解釈
$y_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}$ で、$\sum \alpha_i = 0$ の制約がある理由は？
解答：
$\mu$（全体平均）と $\alpha_i$（群効果）を一意に識別するため。
この制約なしでは、無限に多くの解が存在する。
$\mu$（全体平均）と $\alpha_i$（群効果）を一意に識別するため。
この制約なしでは、無限に多くの解が存在する。
問題 20
Scheffé法の利点
Scheffé法が他の多重比較法と異なる点は？
解答：
あらゆる対比（contrast）を検定できる。
（Tukey や Bonferroni は対比較のみ）
ただし、検出力は最も低い。
あらゆる対比（contrast）を検定できる。
（Tukey や Bonferroni は対比較のみ）
ただし、検出力は最も低い。
📌 Step 9のまとめ
- 一元配置分散分析の理論と計算方法を理解した
- 平方和の分解とF検定の原理を習得した
- 二元配置分散分析と交互作用の概念を学んだ
- 多重比較法（Bonferroni, Tukey）を使えるようになった
- ANOVAの前提条件と確認方法を理解した
学習メモ
統計検定準1級対策 - Step 9
📋 過去のメモ一覧
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