解答: 5%以下とはいえない（有意差なし）

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

・サンプルサイズ: n = 200
・不良品の数: X = 8
・標本比率: p-hat = 8/200 = 0.04（4%）
・帰無仮説の値: p₀ = 0.05（5%）
・有意水準: α = 0.05
・検定の種類: 左片側検定（「以下」）

—

【ステップ2: 仮説を設定】

H₀: p = 0.05（不良率は5%）
H₁: p < 0.05（不良率は5%より低い）

「5%以下」→ 「5%より低い」を証明したい → 左片側検定

—

【ステップ3: 正規近似の条件を確認】

np₀ = 200 × 0.05 = 10 ≥ 5 ✓
n(1-p₀) = 200 × 0.95 = 190 ≥ 5 ✓

条件を満たすので正規近似が使える

—

【ステップ4: 検定統計量を計算】

公式:
Z = (p-hat – p₀) / √[p₀(1-p₀)/n]

分母（標準誤差）を計算:
SE = √[p₀(1-p₀)/n]
= √[0.05 × 0.95 / 200]
= √[0.0475 / 200]
= √0.0002375
= 0.0154

検定統計量Zを計算:
Z = (p-hat – p₀) / SE
= (0.04 – 0.05) / 0.0154
= -0.01 / 0.0154
= -0.649

—

【ステップ5: 棄却域を確認】

α = 0.05 の左片側検定:
棄却域: Z < -1.645

         ←── 95% ──→
5%  ┌─────────────────────┐
    │     採択域          │
────┴─────────────────────────
  -1.645       0
← 棄却域

—

【ステップ6: 判定】

Z = -0.649

-0.649 > -1.645 なので棄却域に入らない

—

【ステップ7: 結論】

H₀を棄却できない

「有意水準5%で、不良率が5%以下であるとはいえない」

—

【計算のまとめ】

Z = (p-hat - p₀) / √[p₀(1-p₀)/n]
  = (0.04 - 0.05) / √[0.05×0.95/200]
  = -0.01 / 0.0154
  = -0.649

Z = -0.649 > -1.645（棄却域に入らない）
→ H₀を棄却できない → 有意差なし

—

【結果の解釈】

標本では不良率4%だったが、
これは「たまたま」かもしれない。

「本当に不良率5%のときでも、
 4%という結果は十分ありえる」
→ 5%より低いとは断言できない

注意: 「5%である」と証明したわけではない！

解答: 等分散といえる（有意差なし）

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

・A群: n₁ = 10, s₁² = 25
・B群: n₂ = 8, s₂² = 16
・有意水準: α = 0.10（両側検定）
・F(9, 7, 0.05) = 3.68

—

【ステップ2: 仮説を設定】

H₀: σ₁² = σ₂²（等分散）
H₁: σ₁² ≠ σ₂²（等分散でない）

—

【ステップ3: 検定統計量を計算】

F検定のルール: 大きい方を分子にする

s₁² = 25 > s₂² = 16 なので…

F = s₁² / s₂² = 25 / 16 = 1.5625

—

【ステップ4: 自由度を確認】

分子の自由度: n₁ – 1 = 10 – 1 = 9
分母の自由度: n₂ – 1 = 8 – 1 = 7

F ~ F(9, 7)

—

【ステップ5: 棄却域を確認】

両側検定 α = 0.10 なので、片側 α/2 = 0.05

棄却域: F > F(9, 7, 0.05) = 3.68

※大きい方を分子にしたので、
  上側の棄却域だけ見ればよい

    ┌───────────────────┐
    │    採択域        │5%
────┴───────────────────┴────
    0                3.68
                    棄却域 →

—

【ステップ6: 判定】

F = 1.5625 < 3.68 なので棄却域に入らない

—

【ステップ7: 結論】

H₀を棄却できない

「有意水準10%で、等分散といえる」
（正確には「等分散でないとはいえない」）

—

【F検定の使いどころ】

F検定は「2標本t検定の前検定」としてよく使う

等分散性を確認してから:
・等分散 → 通常の2標本t検定
・等分散でない → Welchのt検定

今回は等分散と判断できたので、
2標本t検定ではプールした分散を使える

解答: 平均に差があるといえる（有意）

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

・A群: n₁ = 10, X̄₁ = 75, s₁² = 20
・B群: n₂ = 8, X̄₂ = 70, s₂² = 18
・有意水準: α = 0.05（両側検定）
・t(16, 0.025) = 2.120
・仮定: 等分散

—

【ステップ2: 仮説を設定】

H₀: μ₁ = μ₂（A群とB群の平均は等しい）
H₁: μ₁ ≠ μ₂（A群とB群の平均は異なる）

—

【ステップ3: 自由度を計算】

ν = n₁ + n₂ – 2 = 10 + 8 – 2 = 16

—

【ステップ4: プールした分散を計算】

公式:
s²ₚ = [(n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²] / (n₁+n₂-2)

分子を計算:
(n₁-1)s₁² = 9 × 20 = 180
(n₂-1)s₂² = 7 × 18 = 126
合計 = 180 + 126 = 306

分母:
n₁ + n₂ – 2 = 16

プールした分散:
s²ₚ = 306 / 16 = 19.125

—

【ステップ5: 標準誤差を計算】

SE = √[s²ₚ × (1/n₁ + 1/n₂)]

まず括弧内を計算:
1/n₁ + 1/n₂ = 1/10 + 1/8 = 0.1 + 0.125 = 0.225

s²ₚ × (1/n₁ + 1/n₂) = 19.125 × 0.225 = 4.303

SE = √4.303 = 2.074

—

【ステップ6: 検定統計量を計算】

T = (X̄₁ – X̄₂) / SE
= (75 – 70) / 2.074
= 5 / 2.074
= 2.410

—

【ステップ7: 棄却域を確認】

両側検定 α = 0.05 なので、両側にα/2 = 0.025ずつ

棄却域: |T| > t(16, 0.025) = 2.120

         ←── 95% ──→
    ┌────────────────────┐
2.5%│     採択域         │2.5%
────┴────────────────────┴────
  -2.120       0       2.120
 ← 棄却域              棄却域 →

—

【ステップ8: 判定】

|T| = |2.410| = 2.410

2.410 > 2.120 なので棄却域に入る

—

【ステップ9: 結論】

H₀を棄却する

「有意水準5%で、A群とB群の平均に差があるといえる」

—

【計算のまとめ】

s²ₚ = (9×20 + 7×18) / 16 = 306/16 = 19.125
SE = √[19.125 × (1/10 + 1/8)] = √4.303 = 2.074
T = (75 - 70) / 2.074 = 2.410

|T| = 2.410 > 2.120（棄却域）
→ H₀を棄却 → 平均に差がある

解答: 効果があるといえる（有意）

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

・対象数: n = 10人
・差の平均: d̄ = -2.5kg（マイナス＝減った）
・差の標準偏差: sd = 3.0kg
・有意水準: α = 0.05
・検定の種類: 左片側検定（「減った」= 効果あり）
・t(9, 0.05) = 1.833

—

【ステップ2: 仮説を設定】

差 d = (後) – (前) = 体重の変化
d < 0 なら体重が減った = ダイエット効果あり

H₀: μd = 0（効果なし、変化なし）
H₁: μd < 0（効果あり、体重減少）

—

【ステップ3: 自由度を確認】

ν = n – 1 = 10 – 1 = 9

—

【ステップ4: 検定統計量を計算】

標準誤差を計算:
SE = sd / √n = 3.0 / √10 = 3.0 / 3.162 = 0.949

検定統計量Tを計算:
T = d̄ / SE
= -2.5 / 0.949
= -2.634

—

【ステップ5: 棄却域を確認】

α = 0.05 の左片側検定:
棄却域: T < -t(9, 0.05) = -1.833

         ←── 95% ──→
5%  ┌─────────────────────┐
    │     採択域          │
────┴─────────────────────────
  -1.833       0
← 棄却域

—

【ステップ6: 判定】

T = -2.634 < -1.833 なので棄却域に入る

—

【ステップ7: 結論】

H₀を棄却する

「有意水準5%で、ダイエット効果があるといえる」

—

【対標本t検定のポイント】

・同じ人の前後比較 → 対応あり
・差dを計算してから、1標本t検定と同じ形
・自由度はペア数-1（n-1）
・2標本t検定より検出力が高い（個人差を除去）