解答: 独立

【独立性を判定する手順】

ステップ1: まず直感で考える
• 1回目のサイコロと2回目のサイコロは別々に振る
• 1回目に何が出ても、2回目の結果には影響しない
• → 直感的に「独立」と予想できる

ステップ2: 独立性の定義を確認
事象AとBが独立 ⇔ P(A∩B) = P(A) × P(B)

この等式が成り立つかどうかを確認します。

—

ステップ3: P(A)を計算
A = 「1回目が偶数」 = {2, 4, 6}

P(A) = 3/6 = 1/2

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ステップ4: P(B)を計算
B = 「2回目が3の倍数」 = {3, 6}

P(B) = 2/6 = 1/3

—

ステップ5: P(A)×P(B)を計算
P(A) × P(B) = (1/2) × (1/3) = 1/6

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ステップ6: P(A∩B)を直接計算
A∩B = 「1回目が偶数」かつ「2回目が3の倍数」

全体の場合の数:
サイコロ2回なので 6×6 = 36通り

A∩Bの場合の数:
• 1回目の偶数: 2, 4, 6 の3通り
• 2回目の3の倍数: 3, 6 の2通り
• A∩B: 3×2 = 6通り

P(A∩B) = 6/36 = 1/6

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ステップ7: 比較して判定
• P(A) × P(B) = 1/6
• P(A ∩ B) = 1/6

一致する！
→ P(A∩B) = P(A)×P(B) が成り立つ
→ AとBは独立

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【独立と非独立の例】

【独立の例】
├─ サイコロを複数回振る（各回は独立）
├─ コインを複数回投げる
├─ 復元抽出（取り出して戻す）
└─ 異なる人がテストを受ける

【非独立（従属）の例】
├─ 非復元抽出（取り出して戻さない）
├─ カードを続けて引く（戻さない）
├─ 同じ人の身長と体重
└─ 1回目の結果で2回目が変わる場合

【覚え方】
「お互いに影響しない」= 独立
「一方の結果で、もう一方が変わる」= 非独立

解答:
(1) 1/3
(2) 4/15
(3) 8/15

【まず樹形図で全体像を把握】

            1個目            2個目          確率
              │
         ┌────┴────┐
         │         │
       赤(6/10)  白(4/10)
         │         │
     ┌───┴───┐   ┌───┴───┐
   赤(5/9) 白(4/9) 赤(6/9) 白(3/9)
     │       │       │       │
   赤赤     赤白    白赤    白白
  30/90   24/90   24/90   12/90

—

【(1) 2個とも赤の確率】

ステップ1: 樹形図で経路を確認
「赤 → 赤」のルートを辿る

ステップ2: 乗法定理で式を立てる
P(2個とも赤) = P(1個目赤) × P(2個目赤|1個目赤)

ステップ3: 1個目が赤の確率
袋の中: 赤6個、白4個（計10個）
P(1個目赤) = 6/10

ステップ4: 2個目が赤の確率（1個目が赤だった後）
残り: 赤5個、白4個（計9個）
P(2個目赤|1個目赤) = 5/9

ステップ5: 掛け算
= (6/10) × (5/9)
= 30/90
= 1/3

—

【(2) 1個目が赤、2個目が白の確率】

ステップ1: 樹形図で経路を確認
「赤 → 白」のルートを辿る

ステップ2: 乗法定理で式を立てる
P(赤→白) = P(1個目赤) × P(2個目白|1個目赤)

ステップ3: 1個目が赤の確率
P(1個目赤) = 6/10

ステップ4: 2個目が白の確率（1個目が赤だった後）
残り: 赤5個、白4個（計9個）
P(2個目白|1個目赤) = 4/9

ステップ5: 掛け算
= (6/10) × (4/9)
= 24/90
= 4/15

—

【(3) 1個が赤、1個が白（順不同）の確率】

ステップ1: 該当するルートは2つ
• 赤 → 白（1個目が赤、2個目が白）
• 白 → 赤（1個目が白、2個目が赤）

この2つは排反（同時に起こらない）なので足し算！

ステップ2: 赤→白の確率（(2)より）
P(赤→白) = 4/15

ステップ3: 白→赤の確率を計算
P(白→赤) = P(1個目白) × P(2個目赤|1個目白)

1個目が白の確率: P(1個目白) = 4/10
2個目が赤の確率（1個目が白だった後）:
　残り: 赤6個、白3個（計9個）
　P(2個目赤|1個目白) = 6/9

P(白→赤) = (4/10) × (6/9) = 24/90 = 4/15

ステップ4: 和の法則で足す
P(1個ずつ) = P(赤→白) + P(白→赤)
= 4/15 + 4/15
= 8/15

—

【確認: すべてのパターンの確率の合計】

赤赤: 30/90 = 1/3 = 5/15
赤白: 24/90 = 4/15
白赤: 24/90 = 4/15
白白: 12/90 = 2/15
─────────────────────
合計: 15/15 = 1 ✓

すべてのパターンを足すと1になる → 計算が正しい！

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【非復元抽出の重要ポイント】

1. 1回目の結果で2回目の状況が変わる
2. 全体の数が減る（10個→9個）
3. 取り出した玉の数も減る
4. 条件付き確率を使う必要がある

解答: 7/15

【樹形図で整理する】

サイコロ        箱を選ぶ         玉を取る
    │
    ├─ 1,2の目 ──→ 箱A(1/3) ──┬── 赤(7/10) → 7/30
    │                         └── 白(3/10) → 3/30
    │
    └─ 3〜6の目 ─→ 箱B(2/3) ──┬── 赤(4/10) → 8/30
                              └── 白(6/10) → 12/30

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

箱を選ぶ確率（事前確率）:
• P(箱A) = 2/6 = 1/3（サイコロで1か2の目）
• P(箱B) = 4/6 = 2/3（サイコロで3〜6の目）

各箱から赤が出る確率（尤度）:
• P(赤|箱A) = 7/10（箱Aは赤7個、白3個）
• P(赤|箱B) = 4/10（箱Bは赤4個、白6個）

求めるもの:
• P(箱A|赤) = ?（赤が出たとき、箱Aだった確率）

これは「結果（赤）から原因（箱A）」を求める問題
→ ベイズの定理を使う！

—

【ステップ2: 各ルートの確率を計算（乗法定理）】

ルート①: 箱Aを選んで赤が出る
P(箱A ∩ 赤) = P(箱A) × P(赤|箱A)
= (1/3) × (7/10)
= 7/30

ルート②: 箱Bを選んで赤が出る
P(箱B ∩ 赤) = P(箱B) × P(赤|箱B)
= (2/3) × (4/10)
= 8/30
= 8/30

—

【ステップ3: 赤が出る確率の合計（全確率の公式）】

P(赤) = P(箱A ∩ 赤) + P(箱B ∩ 赤)
= 7/30 + 8/30
= 15/30 = 1/2

—

【ステップ4: ベイズの定理で計算】

P(箱A|赤) = P(箱A ∩ 赤) / P(赤)

分子: 7/30（箱Aから赤が出るルート）
分母: 15/30（赤が出るすべてのルート）

= (7/30) ÷ (15/30)
= (7/30) × (30/15)
= 7/15

答え: 7/15（約46.7%）

—

【別解: 比で考える（おすすめ！）】

赤が出るルートだけに注目して比較：
• 箱Aから赤: 7/30 → 比率 7
• 箱Bから赤: 8/30 → 比率 8

赤が出たとき、箱Aである確率：
= 7 / (7 + 8) = 7/15

—

【解釈: 情報による確率の更新】
• 事前確率: P(箱A) = 1/3 ≒ 33%
• 事後確率: P(箱A|赤) = 7/15 ≒ 47%

「赤が出た」という情報を得たことで、
「箱Aだったかも」という確率が33%→47%に上昇！
（箱Aの方が赤が多いから、赤が出たなら箱Aの可能性が高まる）

解答: 11/850

【問題の整理】
• トランプ全体: 52枚
• ハートの枚数: 13枚（A〜Kの13枚）
• 抽出方法: 非復元（引いたカードは戻さない）
• 求めるもの: 3枚すべてがハートの確率

—

【乗法定理を使う手順】

ステップ1: 連続する事象を分解
「3枚ともハート」を分解すると：
• 1枚目がハート
• かつ 2枚目がハート
• かつ 3枚目がハート

P(1枚目♥ ∩ 2枚目♥ ∩ 3枚目♥)

—

ステップ2: 乗法定理の式を立てる
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B|A) × P(C|A∩B)

3つの事象の確率を順番に掛け合わせます：
= P(1枚目♥) × P(2枚目♥|1枚目♥) × P(3枚目♥|1,2枚目♥)

—

ステップ3: 1枚目の確率を計算

【1枚目を引く前】
全体: 52枚
ハート: 13枚

P(1枚目がハート) = 13/52

—

ステップ4: 2枚目の確率を計算（1枚目がハートだった場合）

【2枚目を引く前】
全体: 51枚（1枚減った）
ハート: 12枚（1枚減った）

P(2枚目がハート | 1枚目がハート) = 12/51

—

ステップ5: 3枚目の確率を計算（1,2枚目がハートだった場合）

【3枚目を引く前】
全体: 50枚（2枚減った）
ハート: 11枚（2枚減った）

P(3枚目がハート | 1,2枚目がハート) = 11/50

—

ステップ6: すべて掛け合わせる
P(3枚ともハート)
= (13/52) × (12/51) × (11/50)

分子: 13 × 12 × 11 = 1716
分母: 52 × 51 × 50 = 132600

= 1716 / 132600

—

ステップ7: 約分
1716と132600の最大公約数を見つけて約分

1716 ÷ 156 = 11
132600 ÷ 156 = 850

= 11/850

（約1.29%）

—

【別解: 組合せで計算】

分子: 13枚のハートから3枚選ぶ方法
₁₃C₃ = (13×12×11)/(3×2×1) = 1716/6 = 286通り

分母: 52枚から3枚選ぶ方法
₅₂C₃ = (52×51×50)/(3×2×1) = 132600/6 = 22100通り

P = 286/22100 = 11/850 ✓

両方の方法で同じ答えになることを確認！

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【非復元抽出のポイント】
• 引くたびに全体の数が減る
• 引くたびに「当たり」の数も減る（当たりを引いた場合）
• 各段階の確率を順番に計算して掛ける

解答: 約8.76%（0.0876）

【なぜこの問題が重要か】
「検査で陽性」と言われたら、多くの人は「病気に違いない」と思います。
しかし、実際はそうとは限りません。この問題でその理由を学びます。

—

【樹形図で問題を整理】

           病気の有無        検査結果        確率
              │
         ┌────┴────┐
         │         │
      病気(1%)   健康(99%)
         │         │
     ┌───┴───┐   ┌───┴───┐
  陽性(95%) 陰性(5%) 陽性(10%) 陰性(90%)
     │       │       │        │
 真陽性   偽陰性   偽陽性    真陰性
  0.95%    0.05%    9.9%     89.1%

—

【ステップ1: 与えられた情報を整理】

有病率（事前確率）:
• P(病気) = 0.01（1%）
• P(健康) = 0.99（99%）

検査の性能:
• 感度: P(陽性|病気) = 0.95
　「病気の人が陽性になる確率」（95%）

• 特異度: P(陰性|健康) = 0.90
　「健康な人が陰性になる確率」（90%）

• 偽陽性率: P(陽性|健康) = 1 – 0.90 = 0.10
　「健康なのに陽性になる確率」（10%）

求めるもの:
• P(病気|陽性) = ?
　「陽性が出たとき、本当に病気である確率」

—

【ステップ2: 各ルートの確率を計算】

真陽性（病気で陽性）:
P(病気 ∩ 陽性) = P(病気) × P(陽性|病気)
= 0.01 × 0.95
= 0.0095（0.95%）

偽陽性（健康で陽性）:
P(健康 ∩ 陽性) = P(健康) × P(陽性|健康)
= 0.99 × 0.10
= 0.099（9.9%）

【重要な発見】
偽陽性（0.099）は真陽性（0.0095）の約10倍もある！

—

【ステップ3: 陽性全体の確率（全確率の公式）】

P(陽性) = P(病気 ∩ 陽性) + P(健康 ∩ 陽性)
= 0.0095 + 0.099
= 0.1085（10.85%）

つまり、100人中約11人が陽性になる

—

【ステップ4: ベイズの定理で計算】

P(病気|陽性) = P(病気 ∩ 陽性) / P(陽性)

= 0.0095 / 0.1085
= 0.0876
≒ 8.76%

—

【具体的な人数で考える（1万人の例）】

1万人を検査すると...

【病気の人: 100人（1%）】
  → 陽性: 95人（真陽性）
  → 陰性:  5人（偽陰性 = 見逃し）

【健康な人: 9,900人（99%）】
  → 陽性: 990人（偽陽性）
  → 陰性: 8,910人（真陰性）

【陽性の人の内訳】
  陽性合計: 95 + 990 = 1,085人
  うち本当に病気: 95人
  
  P(病気|陽性) = 95 / 1,085 ≒ 8.76%

—

【なぜこんなに低いのか？】

理由: 有病率が低いから

• 病気の人はそもそも少ない（1%）
• 健康な人が圧倒的に多い（99%）
• たとえ偽陽性率が10%でも、母数が大きいので偽陽性者が多くなる

【教訓】
検査の精度（感度95%）だけ見ると「ほぼ確実」に見えるが、
有病率（基準率）を考慮すると、陽性でも病気の確率は約9%しかない！

これが「基準率の誤謬」と呼ばれる認知バイアスです。