📐 STEP 9: 母平均の検定
z検定とt検定を使いこなそう
📖 このステップで学ぶこと
STEP 8で学んだ仮説検定の理論を、母平均の検定に応用します。
📝 練習問題: 20問
🎯 到達目標: 母平均のz検定ができる（σ既知）、母平均のt検定ができる（σ未知）、片側検定と両側検定を使い分けられる、検定結果を正しく解釈できる
🎯 到達目標: 母平均のz検定ができる（σ既知）、母平均のt検定ができる（σ未知）、片側検定と両側検定を使い分けられる、検定結果を正しく解釈できる
1️⃣ 母平均の検定（z検定：母分散既知）
z検定とは
z検定（z-test）
母分散σ²が既知のとき、母平均μについて検定する方法
検定統計量:
Z = (X – μ₀) / (σ/√n)
帰無仮説H₀が正しいとき、Z ~ N(0, 1)
母分散σ²が既知のとき、母平均μについて検定する方法
検定統計量:
Z = (X – μ₀) / (σ/√n)
帰無仮説H₀が正しいとき、Z ~ N(0, 1)
z検定の手順
検定の手順（5ステップ）
① 仮説設定
H₀: μ = μ₀
H₁: μ ≠ μ₀（または μ > μ₀ または μ < μ₀）
② 有意水準
α = 0.05（通常）
③ 検定統計量
Z = (X – μ₀) / (σ/√n)
④ 棄却域
両側: |Z| > 1.96
右片側: Z > 1.645
左片側: Z < -1.645
⑤ 判定
Zが棄却域に入れば H₀を棄却
① 仮説設定
H₀: μ = μ₀
H₁: μ ≠ μ₀（または μ > μ₀ または μ < μ₀）
② 有意水準
α = 0.05（通常）
③ 検定統計量
Z = (X – μ₀) / (σ/√n)
④ 棄却域
両側: |Z| > 1.96
右片側: Z > 1.645
左片側: Z < -1.645
⑤ 判定
Zが棄却域に入れば H₀を棄却
例題1: ある製品の重さの標準偏差はσ=5gと分かっている。
規格値は100gである。
サンプル25個の平均が102gだった。
規格値と異なるといえるか？（α=0.05、両側検定）
規格値は100gである。
サンプル25個の平均が102gだった。
規格値と異なるといえるか？（α=0.05、両側検定）
解答: 規格値と異なるといえる（有意差あり）
—
【ステップ1: 与えられた情報を整理】
—
【ステップ2: 仮説を設定】
H₀: μ = 100（規格値と同じ）
H₁: μ ≠ 100（規格値と異なる）
「異なる」なので両側検定
—
【ステップ3: 使う検定を確認】
σ = 5g が既知 → z検定を使う
検定統計量: Z = (X – μ₀) / (σ/√n)
—
【ステップ4: 検定統計量を計算】
標準誤差を計算:
SE = σ/√n = 5/√25 = 5/5 = 1
検定統計量Zを計算:
Z = (X – μ₀) / SE
= (102 – 100) / 1
= 2 / 1
= 2.0
—
【ステップ5: 棄却域を確認】
α = 0.05 の両側検定:
棄却域: |Z| > 1.96
—
【ステップ6: 判定】
|Z| = |2.0| = 2.0
2.0 > 1.96 なので棄却域に入る
—
【ステップ7: 結論】
H₀を棄却する
「有意水準5%で、製品の重さは規格値100gと
異なるといえる」
—
【計算のまとめ】
—
【結果の意味】
—
【ステップ1: 与えられた情報を整理】
・サンプルサイズ: n = 25 ・標本平均: X̄ = 102g ・母標準偏差: σ = 5g（既知） ・帰無仮説の値: μ₀ = 100g（規格値） ・有意水準: α = 0.05 ・検定の種類: 両側検定（「異なる」）
—
【ステップ2: 仮説を設定】
H₀: μ = 100（規格値と同じ）
H₁: μ ≠ 100（規格値と異なる）
「異なる」なので両側検定
—
【ステップ3: 使う検定を確認】
σ = 5g が既知 → z検定を使う
検定統計量: Z = (X – μ₀) / (σ/√n)
—
【ステップ4: 検定統計量を計算】
標準誤差を計算:
SE = σ/√n = 5/√25 = 5/5 = 1
検定統計量Zを計算:
Z = (X – μ₀) / SE
= (102 – 100) / 1
= 2 / 1
= 2.0
—
【ステップ5: 棄却域を確認】
α = 0.05 の両側検定:
棄却域: |Z| > 1.96
←── 95% ──→
┌────────────────────┐
2.5%│ 採択域 │2.5%
────┴────────────────────┴────
-1.96 0 1.96
← 棄却域 棄却域 →
—
【ステップ6: 判定】
|Z| = |2.0| = 2.0
2.0 > 1.96 なので棄却域に入る
—
【ステップ7: 結論】
H₀を棄却する
「有意水準5%で、製品の重さは規格値100gと
異なるといえる」
—
【計算のまとめ】
Z = (X̄ - μ₀) / (σ/√n) = (102 - 100) / (5/√25) = 2 / 1 = 2.0 |Z| = 2.0 > 1.96（棄却域） → H₀を棄却 → 有意差あり
—
【結果の意味】
「もし本当に規格値通り（μ=100）なら、 平均102gという結果が出る確率は とても小さい（5%未満）」 → 規格値とは異なる可能性が高い → 製品の調整が必要かもしれない
💡 z検定のポイント
• σ既知: 母分散が分かっている
• 標準正規分布: Z ~ N(0,1)
• 大標本: nが大きければ近似的に使える
• 実務では稀: σが既知なことは少ない
• σ既知: 母分散が分かっている
• 標準正規分布: Z ~ N(0,1)
• 大標本: nが大きければ近似的に使える
• 実務では稀: σが既知なことは少ない
2️⃣ 母平均の検定（t検定：母分散未知）
t検定とは
t検定（t-test）
母分散σ²が未知のとき、母平均μについて検定する方法
検定統計量:
T = (X – μ₀) / (s/√n)
帰無仮説H₀が正しいとき、T ~ t(n-1)
母分散σ²が未知のとき、母平均μについて検定する方法
検定統計量:
T = (X – μ₀) / (s/√n)
帰無仮説H₀が正しいとき、T ~ t(n-1)
t検定の手順
検定の手順（5ステップ）
① 仮説設定
H₀: μ = μ₀
H₁: μ ≠ μ₀（または μ > μ₀ または μ < μ₀）
② 有意水準
α = 0.05
③ 検定統計量
T = (X – μ₀) / (s/√n)
④ 棄却域
自由度 ν = n – 1 のt分布から決定
両側: |T| > t(ν, 0.025)
右片側: T > t(ν, 0.05)
左片側: T < -t(ν, 0.05)
⑤ 判定
Tが棄却域に入れば H₀を棄却
① 仮説設定
H₀: μ = μ₀
H₁: μ ≠ μ₀（または μ > μ₀ または μ < μ₀）
② 有意水準
α = 0.05
③ 検定統計量
T = (X – μ₀) / (s/√n)
④ 棄却域
自由度 ν = n – 1 のt分布から決定
両側: |T| > t(ν, 0.025)
右片側: T > t(ν, 0.05)
左片側: T < -t(ν, 0.05)
⑤ 判定
Tが棄却域に入れば H₀を棄却
例題2: 新しい学習法の効果を調べたい。
従来法の平均点は65点。
新学習法で16人を訓練したら、平均68点、標準偏差6点だった。
効果があるといえるか？（α=0.05、右片側検定）
t(15, 0.05) = 1.753
従来法の平均点は65点。
新学習法で16人を訓練したら、平均68点、標準偏差6点だった。
効果があるといえるか？（α=0.05、右片側検定）
t(15, 0.05) = 1.753
解答: 効果があるといえる（有意）
—
【ステップ1: 与えられた情報を整理】
—
【ステップ2: 仮説を設定】
H₀: μ = 65（効果なし、従来法と同じ）
H₁: μ > 65（効果あり、従来法より良い）
「効果がある」= 点数が上がる = 右片側検定
—
【ステップ3: 使う検定を確認】
σは未知（sを使う）→ t検定を使う
検定統計量: T = (X – μ₀) / (s/√n)
自由度: ν = n – 1 = 16 – 1 = 15
—
【ステップ4: 検定統計量を計算】
標準誤差を計算:
SE = s/√n = 6/√16 = 6/4 = 1.5
検定統計量Tを計算:
T = (X – μ₀) / SE
= (68 – 65) / 1.5
= 3 / 1.5
= 2.0
—
【ステップ5: 棄却域を確認】
α = 0.05 の右片側検定、自由度15:
棄却域: T > t(15, 0.05) = 1.753
—
【ステップ6: 判定】
T = 2.0
2.0 > 1.753 なので棄却域に入る
—
【ステップ7: 結論】
H₀を棄却する
「有意水準5%で、新学習法には効果があるといえる」
—
【計算のまとめ】
—
【z検定との違い】
—
【ステップ1: 与えられた情報を整理】
・サンプルサイズ: n = 16 ・標本平均: X̄ = 68点 ・標本標準偏差: s = 6点 ・帰無仮説の値: μ₀ = 65点（従来法） ・有意水準: α = 0.05 ・検定の種類: 右片側検定（「効果がある」= 大きい） ・t値: t(15, 0.05) = 1.753
—
【ステップ2: 仮説を設定】
H₀: μ = 65（効果なし、従来法と同じ）
H₁: μ > 65（効果あり、従来法より良い）
「効果がある」= 点数が上がる = 右片側検定
—
【ステップ3: 使う検定を確認】
σは未知（sを使う）→ t検定を使う
検定統計量: T = (X – μ₀) / (s/√n)
自由度: ν = n – 1 = 16 – 1 = 15
—
【ステップ4: 検定統計量を計算】
標準誤差を計算:
SE = s/√n = 6/√16 = 6/4 = 1.5
検定統計量Tを計算:
T = (X – μ₀) / SE
= (68 – 65) / 1.5
= 3 / 1.5
= 2.0
—
【ステップ5: 棄却域を確認】
α = 0.05 の右片側検定、自由度15:
棄却域: T > t(15, 0.05) = 1.753
←── 95% ──→
┌─────────────────────┐
│ 採択域 │5%
────┴─────────────────────┴────
0 1.753
棄却域 →
T = 2.0 はここ → 棄却域に入る！
—
【ステップ6: 判定】
T = 2.0
2.0 > 1.753 なので棄却域に入る
—
【ステップ7: 結論】
H₀を棄却する
「有意水準5%で、新学習法には効果があるといえる」
—
【計算のまとめ】
T = (X̄ - μ₀) / (s/√n) = (68 - 65) / (6/√16) = 3 / 1.5 = 2.0 T = 2.0 > 1.753（棄却域） → H₀を棄却 → 効果あり
—
【z検定との違い】
z検定: σが既知 → σを使う → Z ~ N(0,1) t検定: σが未知 → sを使う → T ~ t(n-1) 今回はσが未知なのでt検定を使用
💡 t検定のポイント
• σ未知: 標本標準偏差sを使う
• t分布: 自由度 n-1
• 実務で一般的: 通常はこちらを使う
• 大標本: nが大きいとz検定に近づく
• σ未知: 標本標準偏差sを使う
• t分布: 自由度 n-1
• 実務で一般的: 通常はこちらを使う
• 大標本: nが大きいとz検定に近づく
3️⃣ 片側検定と両側検定の使い分け
両側検定
両側検定（two-tailed test）
使う場面:
「異なる」「変化した」かを調べたい
方向は問わない
H₁: μ ≠ μ₀
棄却域:
両側に分散（α/2ずつ）
使う場面:
「異なる」「変化した」かを調べたい
方向は問わない
H₁: μ ≠ μ₀
棄却域:
両側に分散（α/2ずつ）
片側検定
片側検定（one-tailed test）
使う場面:
「大きい」「小さい」など方向が決まっている
右片側: H₁: μ > μ₀
「増加した」「向上した」「効果がある」
左片側: H₁: μ < μ₀
「減少した」「低下した」「削減された」
棄却域:
片側だけ（α全部）
使う場面:
「大きい」「小さい」など方向が決まっている
右片側: H₁: μ > μ₀
「増加した」「向上した」「効果がある」
左片側: H₁: μ < μ₀
「減少した」「低下した」「削減された」
棄却域:
片側だけ（α全部）
⚡ 片側と両側の使い分け
両側検定を使う:
• 「規格と違うか」
• 「差があるか」
• 方向が分からない・問わない
片側検定を使う:
• 「改善したか」
• 「効果があるか」
• 方向が明確
注意:
データを見てから片側・両側を決めるのはNG！
事前に決める必要がある
両側検定を使う:
• 「規格と違うか」
• 「差があるか」
• 方向が分からない・問わない
片側検定を使う:
• 「改善したか」
• 「効果があるか」
• 方向が明確
注意:
データを見てから片側・両側を決めるのはNG！
事前に決める必要がある
【棄却域の比較（α=0.05）】
【両側検定】
棄却域: |Z| > 1.96
→ 両側に2.5%ずつ
【右片側検定】
棄却域: Z > 1.645
→ 右側に5%全部
【左片側検定】
棄却域: Z < -1.645
→ 左側に5%全部
※片側の方が棄却域が広い
→ 同じデータでも棄却しやすい
4️⃣ 検定結果を正しく解釈する
結論の書き方
帰無仮説を棄却したとき
✅ 良い表現:
• 「有意水準5%で有意差がある」
• 「効果があると認められる」
• 「μ₀とは異なるといえる」
❌ 悪い表現:
• 「帰無仮説は間違っている」（断定しすぎ）
• 「対立仮説が正しい」（証明ではない）
✅ 良い表現:
• 「有意水準5%で有意差がある」
• 「効果があると認められる」
• 「μ₀とは異なるといえる」
❌ 悪い表現:
• 「帰無仮説は間違っている」（断定しすぎ）
• 「対立仮説が正しい」（証明ではない）
帰無仮説を棄却できなかったとき
✅ 良い表現:
• 「有意差は認められない」
• 「効果があるとはいえない」
• 「差があるとは言えない」
❌ 悪い表現:
• 「帰無仮説が正しい」（証明していない）
• 「差がない」（差がないことを証明していない）
• 「効果がない」（効果がないと証明していない）
✅ 良い表現:
• 「有意差は認められない」
• 「効果があるとはいえない」
• 「差があるとは言えない」
❌ 悪い表現:
• 「帰無仮説が正しい」（証明していない）
• 「差がない」（差がないことを証明していない）
• 「効果がない」（効果がないと証明していない）
⚠️ 重要な注意点
統計的有意 ≠ 実質的に重要
• サンプルサイズが大きいと、小さな差でも有意になる
• 有意でも、実用上は意味がない場合もある
• 効果の大きさ（effect size）も考慮すべき
有意でない ≠ 差がない
• サンプルサイズが小さいと、差があっても有意にならない
• 「差がないと証明」ではなく「差があると言えない」
統計的有意 ≠ 実質的に重要
• サンプルサイズが大きいと、小さな差でも有意になる
• 有意でも、実用上は意味がない場合もある
• 効果の大きさ（effect size）も考慮すべき
有意でない ≠ 差がない
• サンプルサイズが小さいと、差があっても有意にならない
• 「差がないと証明」ではなく「差があると言えない」
📝 練習問題（20問）
このステップの理解度を確認しましょう。16問以上正解できれば次のステップへ進めます。
問題 1
z検定の条件
z検定を使うための条件は？
解答: 母分散σ²が既知
【解き方】
または nが十分大きい場合も近似的に使える
【解き方】
または nが十分大きい場合も近似的に使える
問題 2
t検定の条件
t検定を使うのはどんなとき？
解答: 母分散σ²が未知のとき
【解き方】
標本標準偏差sを使う
実務ではほとんどこちらを使用
【解き方】
標本標準偏差sを使う
実務ではほとんどこちらを使用
問題 3
検定統計量（z）
z検定の検定統計量の公式は？
解答: Z = (X - μ₀) / (σ/√n)
【解き方】
標準正規分布N(0,1)に従う
分母はσ（母標準偏差）を使う
【解き方】
標準正規分布N(0,1)に従う
分母はσ（母標準偏差）を使う
問題 4
検定統計量（t）
t検定の検定統計量の公式は？
解答: T = (X - μ₀) / (s/√n)
【解き方】
自由度n-1のt分布に従う
分母はs（標本標準偏差）を使う
【解き方】
自由度n-1のt分布に従う
分母はs（標本標準偏差）を使う
問題 5
両側検定の棄却域
α=0.05の両側z検定で、棄却域は？
解答: |Z| > 1.96
【解き方】
Z < -1.96 または Z > 1.96
両側に2.5%ずつ振り分け
【解き方】
Z < -1.96 または Z > 1.96
両側に2.5%ずつ振り分け
問題 6
片側検定の棄却域
α=0.05の右片側z検定で、棄却域は？
解答: Z > 1.645
【解き方】
片側なのでz(0.05)を使う
右側に5%全部
【解き方】
片側なのでz(0.05)を使う
右側に5%全部
問題 7
z検定の計算
n=64, X=52, σ=8, μ₀=50 のとき、検定統計量Zは？
解答: Z = 2
【解き方】
SE = σ/√n = 8/√64 = 8/8 = 1
Z = (52-50)/1 = 2/1 = 2
【解き方】
SE = σ/√n = 8/√64 = 8/8 = 1
Z = (52-50)/1 = 2/1 = 2
問題 8
判定（z検定）
問題7で、α=0.05の両側検定のとき、H₀を棄却するか？
解答: 棄却する
【解き方】
|Z| = 2 > 1.96 なので棄却域に入る
→ H₀を棄却
【解き方】
|Z| = 2 > 1.96 なので棄却域に入る
→ H₀を棄却
問題 9
t検定の計算
n=25, X=55, s=10, μ₀=50 のとき、検定統計量Tは？
解答: T = 2.5
【解き方】
SE = s/√n = 10/√25 = 10/5 = 2
T = (55-50)/2 = 5/2 = 2.5
【解き方】
SE = s/√n = 10/√25 = 10/5 = 2
T = (55-50)/2 = 5/2 = 2.5
問題 10
自由度
n=20のt検定で、自由度は？
解答: 19
【解き方】
自由度 = n - 1 = 20 - 1 = 19
【解き方】
自由度 = n - 1 = 20 - 1 = 19
問題 11
両側と片側の選択
「新薬の効果がある」を調べるとき、両側・片側どちら？
解答: 右片側検定
【解き方】
H₁: μ > μ₀（効果の方向が決まっている）
「効果がある」= 「良くなる」方向
【解き方】
H₁: μ > μ₀（効果の方向が決まっている）
「効果がある」= 「良くなる」方向
問題 12
仮説の設定
「平均値が100と異なるか」を調べる。帰無仮説は？
解答: H₀: μ = 100
【解き方】
対立仮説: H₁: μ ≠ 100（両側検定）
帰無仮説は「=」の形
【解き方】
対立仮説: H₁: μ ≠ 100（両側検定）
帰無仮説は「=」の形
問題 13
結論の書き方
H₀を棄却したとき、正しい結論は？
解答: 有意水準5%で有意差がある
【解き方】
「H₀は間違い」は不適切
断定しすぎない表現を使う
【解き方】
「H₀は間違い」は不適切
断定しすぎない表現を使う
問題 14
結論の書き方2
H₀を棄却できなかったとき、正しい結論は？
解答: 有意差は認められない
【解き方】
「差がない」「H₀が正しい」は不適切
差がないことを証明したわけではない
【解き方】
「差がない」「H₀が正しい」は不適切
差がないことを証明したわけではない
問題 15
実務での選択
実務で母平均を検定するとき、通常はz検定・t検定どちら？
解答: t検定
【解き方】
母分散が既知なことは稀
通常はt検定を使用
【解き方】
母分散が既知なことは稀
通常はt検定を使用
問題 16
大標本
nが十分大きいとき、t検定は何に近づくか？
解答: z検定
【解き方】
t分布が標準正規分布に近づく
n≥30程度で近似
【解き方】
t分布が標準正規分布に近づく
n≥30程度で近似
問題 17
統計的有意性
「統計的に有意」であることと「実質的に重要」は同じか？
解答: 異なる
【解き方】
nが大きいと小さな差でも有意になる
効果の大きさ（effect size）も考慮すべき
【解き方】
nが大きいと小さな差でも有意になる
効果の大きさ（effect size）も考慮すべき
問題 18
片側検定の注意
データを見てから片側・両側を決めてよいか？
解答: よくない
【解き方】
事前に決める必要がある
後出しは第一種の誤りを増加させる
【解き方】
事前に決める必要がある
後出しは第一種の誤りを増加させる
問題 19
総合問題1
n=36, X=103, σ=12, μ₀=100, α=0.05（両側）。z検定の結果は？
解答: H₀を棄却しない
【解き方】
SE = σ/√n = 12/√36 = 12/6 = 2
Z = (103-100)/2 = 3/2 = 1.5
|Z| = 1.5 < 1.96 なので棄却域に入らない
→ H₀を棄却しない
【解き方】
SE = σ/√n = 12/√36 = 12/6 = 2
Z = (103-100)/2 = 3/2 = 1.5
|Z| = 1.5 < 1.96 なので棄却域に入らない
→ H₀を棄却しない
問題 20
総合問題2
n=16, X=72, s=8, μ₀=70, t(15,0.05)=1.753, α=0.05（右片側）。判定は？
解答: H₀を棄却しない
【解き方】
SE = s/√n = 8/√16 = 8/4 = 2
T = (72-70)/2 = 2/2 = 1
T = 1 < 1.753 なので棄却域に入らない
→ H₀を棄却しない（効果があるとはいえない）
【解き方】
SE = s/√n = 8/√16 = 8/4 = 2
T = (72-70)/2 = 2/2 = 1
T = 1 < 1.753 なので棄却域に入らない
→ H₀を棄却しない（効果があるとはいえない）
⚠️ よくあるつまずきポイントと対策
z検定とt検定を間違える
対策: σ（母標準偏差）が与えられているか確認しましょう。
- σが既知 → z検定（Z = (X̄-μ₀)/(σ/√n)）
- σが未知 → t検定（T = (X̄-μ₀)/(s/√n)）
- 問題文に「母標準偏差」「σ」があればz検定
棄却域の向きを間違える
対策: 対立仮説H₁の不等号で判断しましょう。
- H₁: μ ≠ μ₀ → 両側（|Z| > 1.96）
- H₁: μ > μ₀ → 右側（Z > 1.645）
- H₁: μ < μ₀ → 左側（Z < -1.645）
棄却と棄却しないを逆にする
対策: 「棄却域に入る → 棄却」と覚えましょう。
- 検定統計量が棄却域に入る → H₀を棄却
- 検定統計量が棄却域に入らない → H₀を棄却しない
- 「棄却」= 「差がある」という結論
結論の書き方を間違える
対策: 「〜といえる」「〜とはいえない」を使いましょう。
- 棄却 → 「有意差がある」「効果があるといえる」
- 棄却しない → 「有意差は認められない」「効果があるとはいえない」
- 「差がない」「H₀が正しい」は使わない
📚 このステップのまとめ
🎯 学習したこと
- z検定: σ既知、Z=(X-μ₀)/(σ/√n)
- t検定: σ未知、T=(X-μ₀)/(s/√n)
- 両側検定: μ ≠ μ₀（|Z| > 1.96）
- 片側検定: μ > μ₀ または μ < μ₀
- 結論の書き方: 有意/有意でない
- 注意点: 統計的有意 ≠ 実質的重要
💡 次のステップへ進む前に
練習問題で16問以上（80%以上）正解できたら、STEP 10に進みましょう！
検定統計量の計算と判定の手順をしっかり身につけましょう。
結論の正しい書き方も重要です！
練習問題で16問以上（80%以上）正解できたら、STEP 10に進みましょう！
検定統計量の計算と判定の手順をしっかり身につけましょう。
結論の正しい書き方も重要です！
学習メモ
統計検定2級対策 - Step 9
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